где .

     Решив систему, найдем , .

     После потенцирования получим  .

     Таким образом, экспоненциальная аппроксимация  имеет вид 

      .

     Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 5.

     Таблица 5

Результаты коэффициентов  экспоненциальной аппроксимации.

 

     В таблице 5 в ячейках D45:E46 записана формула {=МОБР(D42:943)}.

     В ячейках G45:G46 записана формула {=МУМНОЖ(D45:E46;F42:F43)}.

     В ячейке G47 записана формула =EXP(G45).

 

     Вычислим среднее арифметическое и по формулам:

     

     Результаты  расчета  и средствами Microsoft Excel представлены в таблице 6.

     Таблица 6

      Вычисление средних значений X и Y.

 

     В ячейке F49 записана формула =A26/25.

     В ячейке F50 записана формула =B26/25.

     Для того, чтобы рассчитать коэффициент  корреляции и коэффициент детерминированности  данные целесообразно расположить в виде таблицы 7, которая является продолжением таблицы 2.

 
 
 
 

Таблица 7

Вычисление остаточных сумм.

 

     Поясним как таблица 7 составляется.

     Ячейки A2:A27 и B2:B27 уже заполнены (см. табл. 2).

     Далее делаем следующие шаги.

     Шаг 1. В ячейку J2 вводим формулу =(A2-$F$49)*(B2-$F$50).

     Шаг 2. В ячейки J3:J26 эта формула копируется.

     Шаг 3. В ячейку K2 вводим формулу =(A2-$F$49)^2.

     Шаг 4. В ячейки K3:K26 эта формула копируется.

     Шаг 5. В ячейку L2 вводим формулу =(B2-$F$50)^2.

     Шаг 6. В ячейки L3:L26 эта формула копируется.

     Шаг 7. В ячейку M2 вводим формулу =($D$37+$D$38*A2-B2)^2.

     Шаг 8. В ячейки M3:M26 эта формула копируется.

     Шаг 9. В ячейку N2 вводим формулу

                        =($I$38+$I$39*A2+$I$40*A2^2-B2)^2.

     Шаг 10. В ячейки N3:N26 эта формула копируется.

     Шаг 11. В ячейку O2 вводим формулу 

                        =($G$47*EXP($G$46*A2)-B2)^2.

     Шаг 12. В ячейки O3:O26 эта формула копируется.

 

Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования .

 

     Шаг 13. В ячейку J27 вводим формулу =СУММ(J2:J26).

     Шаг 14. В ячейку K27 вводим формулу =СУММ(K2:K26).

     Шаг 15. В ячейку L27 вводим формулу =СУММ(L2:L26).

     Шаг 16. В ячейку M27 вводим формулу =СУММ(M2:M26).

     Шаг 17. В ячейку N27 вводим формулу =СУММ(N2:N26).

     Шаг 18. В ячейку O27 вводим формулу =СУММ(O2:O26).

     Теперь  проведем расчеты коэффициента корреляции по формуле 

      (только  для линейной аппроксимации)

и коэффициента детерминированности по формуле  . Результаты расчетов средствами Microsoft Excel представлены в таблице 8.

     Таблица 8

      Результаты расчета.

 
 

В таблице 8 в ячейке D53 записана формула =J27/(K27*L27)^(1/2).

В ячейке D54 записана формула =1- M27/L27.

В ячейке D55 записана формула =1- N27/L27.

В ячейке D56 записана формула =1- O27/L27.

     Анализ  результатов расчетов показывает, что  квадратичная аппроксимация наилучшим  образом описывает экспериментальные данные.

 

4. Построение  графиков в Excel и использование функции ЛИНЕЙН.

     Рассмотрим  результаты эксперимента, приведенные  в исследованном выше примере.

     Исследуем характер зависимости в три  этапа:

• Построим график зависимости.
• Построим линию тренда ( _{,  ,} ).
• Получим числовые характеристики коэффициентов этого уравнения.

 

     Рис.4.1. График зависимости  y от x 

             Рис.4.2. График линейной аппроксимации

 

     Рис.4.3. График квадратичной аппроксимации.

                                                 

            Рис.4.4. График экспоненциальной  аппроксимации.

 

     Примечание: Полученное при построении линии тренда значение коэффициента детерминированности для экспоненциальной зависимости   не совпадает с истинным значением , поскольку при вычислении коэффициента детерминированности используются не истинные значения , а преобразованные значения с дальнейшей линеаризацией.

Таблица 9

 

5. Программа  на языке Pascal.

5.1. Схема алгоритма.

     

     Рис.5.1. Блок-схема

 

 

program Kramer;

uses CRT;

const

n=25;

type

TArrayXY = array[1..2,1..n] of real;

TArray = array[1..n] of real;

var

SumX,SumY,SumX2,SumXY,SumX3,SumX4,SumX2Y,SumLnY,SumXLnY: real;

OPRlin,OPRkvadr,OPRa1,OPRa2,OPRa3:real;

a1lin,a2lin,a1kvadr,a2kvadr,a3kvadr,a1exp,a2exp,cexp:real;

Xsr,Ysr,S1,S2,S3,Slin,Skvadr,Sexp:real;

Kkor,KdetLin,KdetKvadr,KdetExp:real;

i:byte;

const

ArrayXY:TArrayXY=((12.85,12.32,11.43,10.59,10.21,9.65,9.63,9.22,8.44,8.07,7.74,7.32,7.08,6.87,5.23,5.02,4.65,4.53,3.24,2.55,1.86,1.76,1.11,0.99,0.72) , (154.77

145.59,108.37,100.76,98.32,81.43,80.97,79.04,61.76,60.54,55.86,47.63,48.03,36.85,25.65,24.98,22.87,20.32,9.06,6.23,3.91,3.22,1.22,1.10,0.53));

begin

ClrScr;

SumX:=0.0;

SumY:=0.0;

SumXY:=0.0;

SumX2:=0.0;

SumX3:=0.0;

SumX4:=0.0;

SumX2Y:=0.0;

SumLnY:=0.0;

SumXLnY:=0.0;

{ Вычисление сумм x, y, x*y, x^2, x^3, x^4, (x^2)*y, Ln(y), x*Ln(y) }

for i:=1 to n do

  begin

   SumX:=SumX+ArrayXY[1,i];

   SumY:=SumY+ArrayXY[2,i];

   SumXY:=SumXY+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[2,i];

   SumX2:=SumX2+sqr(ArrayXY[1,i]);

   SumX3:=SumX3+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i];

   SumX4:=SumX4+sqr(ArrayXY[1,i])*sqr(ArrayXY[1,i]);

   SumX2Y:=SumX2Y+sqr(ArrayXY[1,i])*ArrayXY[2,i];

   SumLnY:=SumLnY+ln(ArrayXY[2,i]);

   SumXLnY:=SumXLnY+ArrayXY[1,i]*ln(ArrayXY[2,i])

  end;

{ Вычисление  коэффициентов }

 OPRlin:=0.0;

a1lin:=0.0;

a2lin:=0.0;

a1kvadr:=0.0;

OPRkvadr:=0.0;

a2kvadr:=0.0;

a2kvadr:=0.0;

a1exp:=0.0;

a2exp:=0.0;

OPRlin:=n*SumX2-SumX*SumX;

a1lin:=(SumX2*SumY-SumX*SumXY)/OPRlin;

a2lin:=(n*SumXY-SumX*SumY)/OPRlin;

OPRkvadr:=n*SumX2*SumX4+SumX*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX3-     SumX2*SumX2*SumX2-n*SumX3*SumX3-SumX*SumX*SumX4;

a1kvadr:=(SumY*SumX2*SumX4+SumX*SumX2Y*SumX3+SumX2*SumXY*SumX3- SumX2*SumX2*SumX2Y-SumY*SumX3*SumX3-SumX*SumXY*SumX4)/OPRkvadr;

a2kvadr:=(n*SumXY*SumX4+SumY*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX2Y-SumX2*SumX2*SumXY-n*SumX3*SumX2Y-SumY*SumX*SumX4)/OPRkvadr;

a3kvadr:=(n*SumX2*SumX2Y+SumX*SumXY*SumX2+SumY*SumX*SumX3-SumY*SumX2*SumX2-n*SumXY*SumX3-SumX*SumX*SumX2Y)/OPrkvadr;

a2exp:=(n*SumXLnY-SumX*SumLnY)/OPRlin;

cexp:=(SumX2*SumLnY-SumX*SumXLnY)/OPRlin;

a1exp:=exp(cexp);

 { Вычисление средних арифметических x и y }

 Xsr:=SumX/n;

Ysr:=SumY/n;

S1:=0.0;

S2:=0.0;

S3:=0.0;

Slin:=0.0;

Skvadr:=0.0;

Sexp:=0.0;

Kkor:=0.0;

KdetLin:=0.0;

KdetKvadr:=0.0;

KdetExp:=0.0;

 

for i:=1 to n do

  begin

   S1:=S1+(ArrayXY[1,i]-Xsr)*(ArrayXY[2,i]-Ysr);

   S2:=S2+sqr(ArrayXY[1,i]-Xsr);

   S3:=S3+sqr(ArrayXY[2,i]-Ysr);

   Slin:=Slin+sqr(a1lin+a2lin*ArrayXY[1,i]-ArrayXY[2,i]);

Skvadr:=Skvadr+sqr(a1kvadr+a2kvadr*ArrayXY[1,i]+a3kvadr*ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]-ArrayXY[2,i]);

   Sexp:=Sexp+sqr(a1exp*exp(a2exp*ArrayXY[1,i])-ArrayXY[2,i]);

  end;

{ Вычисление  коэффициентов корреляции и детерминированности  }

 Kkor:=S1/sqrt(S2*S3);

KdetLin:=1-Slin/S3;

KdetKvadr:=1-Skvadr/S3;

KdetExp:=1-Sexp/S3;

 { Вывод результатов }

WriteLn('Линейная  функция');

 WriteLn('a1=',a1lin:8:5);

WriteLn('a2=',a2lin:8:5);

 WriteLn('Квадратичная функция');

 WriteLn('a1=',a1kvadr:8:5);

WriteLn('a2=',a2kvadr:8:5);

WriteLn('a3=',a3kvadr:8:5);

 WriteLn('Экспоненциальная функция');

 WriteLn('a1=',a1exp:8:5);

WriteLn('a2=',a2exp:8:5);

WriteLn('c=',cexp:8:5);

WriteLn('Xcp=',Xsr:8:5);

WriteLn('Ycp=',Ysr:8:5);

WriteLn('Коэффициент корреляции ',Kkor:8:5);

WriteLn('Коэффициент  детерминированности (линейная аппроксимация) ',KdetLin:2:5);

WriteLn('Коэффициент  детерминированности (квадратическая  аппроксимация) ',KdetKvadr:2:5);

WriteLn('Коэффициент  детерминированности (экспоненциальная  аппроксимация) ',KdetExp:2:5);

end.

 

5.2. Результаты расчета Pascal.

 

Коэффициенты  линейной функции

a1=-24.73516

a2=11.63471

 

Коэффициенты  квадратичной функции

a1= 1.59678

a2=-0.62145

a3= 0.95543

 

Коэффициенты  экспоненциальной функции

a1= 1.65885

a2= 0.40987

c= 0.50613

Xcp= 6.52320

Ycp=51.16040

 

Коэффициент корреляции  0.96196

Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация) 0.92537

Коэффициент детерминированности (квадратическая аппроксимация) 0.99409

Коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация) 0.02691