Достаточные условия: Если Ñf(x*) = 0 и матрица H_f(x*) = Ѳf(x*) – положительно определена, то х* точка изолированного (строгого) локального минимума функции f(x).

      Примечание. Если удастся показать, что x^TѲf(x) ³ 0 для всех х, то f(x) является выпуклой функцией, а локальный минимум оказывается глобальным.

      Заключение

      В работе приведены и численные  методы нахождения экстремума. Необходимость  в них возникает, когда система  из частных производных не имеет  аналитического решения или содержит сложную нелинейность.  Аналитически решается лишь малая часть задач  оптимизации, поэтому рассматриваются  и некоторые численные алгоритмы. Численные  алгоритмы запрограммированы, как правило, в математических  компьютерных пакетах, которые обеспечивают высокую точность и скорость нахождения экстремума, но, к сожалению, не всегда находят глобальный экстремум. Среди  таких пакетов следует отметить математические программы Maple, MatLab, Mathematica. Но это не означает, что для нахождения экстремумов следует пользоваться ими, не имея понятия о математических  алгоритмах.

      В работе в виду ограниченного объема не рассматривались задачи оптимизации  функций с ограничениями, и задачи многокритериальной оптимизации. Тем  не менее, они составляют важный класс  задач поиска экстремума, которые  часто появляются в научной и  практической деятельности.

      Литература

1. Акулич  И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 2005.
2. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. - М.: Наука, 2006.
3. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. - М.: Радио и связь, 2004.
4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 2007.
5. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. - М.: Мир,  2006.
6. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. - М.: Наука, 2007.
7. Карманов В.Г. Математическое программирование. - М.: Наука, 2004.
8. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. - М.: Изд-во МАИ, 2005.
9. Летова Т.А., Пантелеев А.В. Экстремум функций в примерах и задачах. M.: Изд-во МАИ, 2004.
10. Пшеничный Б.И., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. - М.: Наука, 2008.
11. Федоров В.В. Численные методы максимина. - М.: Наука, 2004.