ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ИНВЕСТИЦИЙ

НА  ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ МАРКОВИЦА 

А.В. Грунин 

     В работе показан метод оценки и выбора оптимального портфеля ценных бумаг, руководствуясь понятиями доходность, как математическое ожидание  и риск, как дисперсия или среднеквадратическое отклонение. Показаны расчеты этим методом в программе Mathcad по реальным данным котировок RTS.  

           Из всего разнообразия различных теорий выделяется модель, созданная в 1950 году нобелевским  лауреатом Гарри Марковицем и получившая название «модель Марковица», поскольку ее несомненным достоинством является строгая математическая формулировка, что обеспечивает максимальную объективность результатов.

     Фундаментальная работа Г. Марковица о диверсификации портфеля ценных бумаг рассматривает задачу выбора оптимального портфеля из набора ценных бумаг, рассматриваемого на одном периоде действия доходностей при знании распределений и взаимозависимостей доходностей. Оптимальный портфель получает предписанную среднюю доходность, имея при этом минимальный возможный разброс своей доходности.

     Инвестор, стремясь одновременно максимизировать ожидаемую доходность и минимизировать риск, имеет две противоречащие друг другу цели, которые должны быть сбалансированы при принятии решения о покупке. Подход Марковица к принятию решения дает возможность адекватно учесть обе эти цели.

Теоретические сведения о модели Марковица

     Модель  Марковица основана на следующих  принципах. Мы ищем оптимальный портфель акций для инвестора, не расположенного к риску, который принимает свои решения на основе математического ожидания, как доходности и дисперсии, как риска. Ожидаемая доходность портфеля соответствует взвешенной средней арифметической доходности содержащихся в портфеле акций. Зависящая от ситуации доходность i-ой

акции составляет:

 

,  (1)

, где - цена акции на момент продажи, – цена акции на момент покупки. Через математическое ожидание n доходностей i-го актива находим ожидаемую доходность:

,  (2)

где – ожидаемая доходность i-го актива в векторе доходностей , матрица – доходностей акций, где на позиции (i , j) находится доходность i-ой акции в j-ом наблюдении. n – количество наблюдений.

     Риск  ценной бумаги измеряется среднеквадратическим отклонением ее доходностей или дисперсией. Вычисление дисперсии описывается выражением:

     

,  (3)

     где – дисперсия i-ой акций или ее риск.

     Среднеквадратическое отклонение вычисляется как корень из дисперсии и позволяет нагляднее увидеть величину риска, т.к. дисперсия просто показывает степень риска без определенной привязки к цифрам. В то время как среднеквадратическое отклонение позволяет увидеть риск в тех же величинах что и доходность, наглядно сопоставляя риск и ожидаемую доходность.

     Степень возможности уменьшения риска зависит  от ковариации, служащей мерой связи (в вероятностном статистическом смысле) между случайными величинами, представляющими доходности активов. Матрица для m активов рассчитывается по формуле:

,   (4)

где элементу соответствует ковариация между i-м и j-м активами.

     В инвестиционном анализе чаще применяется относительный метод описания портфеля – в этом случае портфель задается вектором относительных весов, где вес, каждого актива  рассчитывается как доля исходного капитала , инвестируемого в i-ый актив:

,

     где числитель есть произведение количества акций актива, обозначенного как , и начальной цены i-го актива . 
Очевидно, что портфель из видов активов есть сумма , :

,  (5)

где - сам портфель инвестиций. В расчетах будем обозначать как вектор , где на позиции стоит вес i-го актива в портфеле. Так как мы не рассматриваем случай с короткими позициями и предполагаем, что инвестор не берет займов, т.е. , то очевидно что . 
 Из формулы (5) следует, что , это основное ограничение, которому удовлетворяет вектор, представляющий портфель.

      Формула (5) позволяет вывести соотношение между доходностью портфеля и доходностями активов:

,  (6)

где – доходность i-го актива. Из этого следует, что мы можем рассматривать как случайные величины. Это соотношение позволяет получить вероятностные (ожидаемые) характеристики портфеля, используя аналогичные характеристики активов этого портфеля.

      Так, применяя свойство линейности математического ожидания к формуле (6), получим ожидаемую доходность портфеля из суммы произведения ожидаемых доходностей активов портфеля и их весов:

    (6.1)

Пусть теперь m - вектор математических ожиданий (средних доходностей) активов, то есть , , получаем:

.  (6.2)

Правая  часть этого равенства представляет собой матричную запись, где  заменяет собой неизвестный оптимальный портфель .   
Применив оператор дисперсии к обеим частям равенства (6), получим:

,  (6.3)

где есть матрица ковариаций между активами, причем на позиции (i , j) находится ковариация между i-м и j-м активами. 
Равенство (6.3) следует из свойств дисперсии, которые легко доказать прямыми вычислениями.

      Итак, используя матричную запись, можно  предыдущие формулы (6.2) и (6.3) записать в виде:

,   (7) 
.  (8)

Формулы (7) и (8) важны, так как описывают риск и доходность портфеля инвестиций в зависимости от весов активов в самом портфеле, их ожидаемых доходностей и зависимостей.

Задача  на выбор оптимального портфеля инвестиций.

   Вектор  и матрица представляют собой оценки рынка инвестором. Факт, что инвестор принимает решения исходя лишь из этих параметров, является постулатом теории Марковица. Цель инвестора – выбрать оптимальный портфель из имеющихся на рынке активов.

   Существует  три постановки задачи:

   1. Нахождение , путем минимизации риска. 
Исходные данные: матрица , вектор , вектор с начальным приближением.

  
, где заданное значение доходности.

     2. Нахождение , путем максимизации доходности.

Исходные  данные: матрица  , вектор , вектор с начальным приближением.

  
, где заданное значение риска. 

 

3. Задача, когда оба критерия входят в целевую функцию и индивидуальные предпочтения задаются функцией полезности .

Исходные  данные: матрица  , вектор , вектор с начальным приближением.

,  (9)

где – положительное число. Оно показывает, насколько инвестор предрасположен к риску. Чем больше , тем он менее склонен к риску.

Приложение

В таблице  представлены по наблюдений доходностей индексов RTS ¹, посчитанных по формуле (1) с шагом один день: 

 

     Найдем  вектор средних ожидаемых доходностей активов по формуле (2). Также найдем вектор дисперсий или рисков активов по формуле (3) Вектор среднеквадратических отклонений можно получить по формуле

Сводка  параметров распределения:

 

     Оценки  активов на плоскости «Доходность – Риск» для данного примера представлены на графике:

     Даже  по графику можно понять, в активы каких компаний стоит вкладывать, а в какие нет. Выгодные активы – RTSin и RTScr, т.к. им соответствует относительно небольшой риск, в то время как их доходность занимает лидирующие позиции. Самый невыгодный актив это RTSfn; у него отрицательная доходность и высокий риск.

      Матрица для , рассчитана по формуле (4):

,

следует отметить, что на главной диагонали  матрицы находятся дисперсии  активов.

      Найдем  оптимальный портфель путем поиска экстремума целевой функции при заданных ограничениях. Целевой функцией может быть одна из формул (7), (8), (9). В ограничения следует записать, что , , и в зависимости от , одну из формул (7) или (8).

Приложение 1

     Пусть нас устраивает доходность , при этом мы хотим, чтобы риск был настолько мал, насколько это возможно.