Золотое сечение в музыке

В эпоху  Возрождения усиливается интерес  к золотому делению среди ученых и художников в связи с его  применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в  архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских  художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал  писать книгу по геометрии, но в это  время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил  свою затею. По мнению современников  и историков науки, Лука Пачоли был  настоящим светилом, величайшим математиком  Италии в период между Фибоначчи  и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых  называлась “О перспективе в живописи”. Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука  Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли “Божественная пропорция” с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее “божественную суть” как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого). 

Алгебра музыки.  

 В  композиции многих музыкальных  произведений отмечается наличие  некоторого «кульминационного взлета»,  высшей точки, причем такое  построение  характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, асимметрична. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, советский музыковед Л.Мазель установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, т.е. находится в точке золотого сечения. По мнению Л.Мазеля, число подобных восьмитактов, где подъем мелодии занимает пять тактов, а последующий спуск – три, необычайно велико. Их можно без труда найти почти у каждого автора, сочинявшего музыку в гармоническом стиле.   

 Очевидно, такое расположение кульминационных  моментов музыкальной мелодии  является важным элементом ее  гармонической композиции, придающим  художественную выразительность  и эстетическую эмоциональность  мелодии.  

 Характерно, что в некоторых случаях авторы  музыкальных произведений смещали  их вершину от точки золотого  сечения, что придавало мелодиям  неустойчивый характер. По мнению  Л.Мазеля,  это входило в намерения авторов, например, при сочинении скерцо, рондообразных финалов.  

 Наиболее  обширное исследование проявлений  золотого сечения в музыке  было предпринято Л.Сабанеевым. Им  было изучено две тысячи произведений  различных композиторов. По его  мнению, временное протяжение музыкального  произведения делится «некоторыми  вехами», которые выделяются при  восприятии музыки и облегчают  созерцание формы целого. Все  эти музыкальные вехи делят  целое на части, как правило,  по закону золотого сечения.    

 По  наблюдениям Л.Сабанеева, в музыкальных  произведениях различных композиторов  обычно констатируется не одно  золотое сечение, а целая серия  подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений. Количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).   

 Наиболее  детально были изучены все  27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в  трех этюдах золотое сечение  отсутствовало. В некоторых случаях  строение музыкального произведения  сочетало в себе симметричность  и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось  на несколько симметричных частей, в каждой из которых проявляется  золотое сечение. У Бетховена  также сочинения делятся на  две симметричные части, а внутри  каждой из них наблюдаются  проявления золотой пропорции.  

 Характерно, что наиболее часто золотое  сечение обнаруживается в произведениях  высокохудожественных, принадлежащих  гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции  является одним из объективных  критериев оценки гениальности  музыкальных произведений и их  авторов?  

 Итак, можно признать, что золотая пропорция  является критерием гармонии  композиции музыкального произведения. 

Анализ  Хроматической фантазии И. С. Баха

Фантазия

Хроматическая фантазия написана в размере 4/4, имеет 79 тактов, т. е. 79• 4 = 316 четвертных долей.

Итак, "целое" а=316. Фантазия состоит из двух ясно различимых по характеру частей, отделенных друг от друга паузой. Первая часть, прелюдия, заканчивается на арпеджированном доминантовом трезвучии с разрешением на 2-й четверти 49-го такта, на которой стоит знак ферматы (удлинение звука), и затем идет пауза. Таким образом, первая часть фактически заканчивается на 3-й четверти 49-го такта, т. е. на 195-й (48 • 4 + 3) четверти a₁ = 195. На вторую часть приходится 121 четверть         (a₂ = a − a₁ = 316 − 195 = 121).  
Вычисляя "теоретическую" длину первой части с помощью коэффициента золотого сечения, мы с поражающей точностью находим 

 
Итак, Хроматическая фантазия разделена  на первую и вторую части в золотой  пропорции: 

Но на этом чудеса гениального творения Баха только начинаются. Построив ряд золотого сечения при а=316, имеем

Каково  же должно быть наше удивление, когда  мы обнаружим, что на 124-й четверти находится кульминация первой части  и стоит знак ферматы •, а на 77-й четверти от начала второй части  имеет место кульминация второй части. Таким образом, кульминация  обоих частей с небольшой погрешностью, легко объяснимой растяжимостью  темпов, делит эти части по закону золотого сечения. Далее, каждый из полученных четырех разделов Хроматической  фантазии имеет характерные особенности, которые также с потрясающей  точностью приходятся на точки золотого сечения этих разделов. Также Розенов  нашел и более мелкие деления  Хроматической фантазии в золотой  пропорции. 
 
 
 
 
 
 
 

 Заключение.

Необходимо  сказать, что золотое сечение  имеет большое применение в нашей  жизни. 
Было доказано, что человеческое тело делится в пропорции золотого сечения линией пояса. 
Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали. 
Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и 
Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета. 
Возбуждение струны в точке , делящей её в отношении золотого деления, не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации. 
На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.

Джоконда  построена на золотых треугольниках, золотая спираль присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев». 
Пропорция обнаружена в картине Сандро Боттичелли «Рождение Венеры» 
Известно много памятников архитектуры, построенных с использованием золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах, здания архитекторов Баженова и Малевича. 
Иоанну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежит высказывание: 
"Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема 
Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении". 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Литература:

1. Д. Пидоу.  Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.

      2. Журнал "Наука и техника" 
      3. Журнал «Квант», 1973, № 8.

4. Журнал  «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

5. Ковалев  Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989. 
6. Стахов А. Коды золотой пропорции. 
7. «Математика. Я познаю мир». – М.: Аванта + 1998 
8. Информация из интернета: www.yandex.ru & www.km.ru