Экономико-математические методы и модели в отрасли связи

Литература:

1. Барсук В.А., Губин Н.М., Батый А.Р. Экономико-математические методы в планировании и управлении в отрасли связи. - М.: Радио и связь, 1984. Глава 2, § 2.2, стр. 27. Глава 6, §6.1 стр. 115. 
    
   2. Губин Н.М., Добронравов А.С., Дорохов Б.С. Экономико-математические методы в планировании и управлении в отрасли связи. -М.: Радио и связь, 1993. Глава 16, § 16.1, стр.338.

 
 

ЗАДАЧА 2.

    Необходимо  оценить работу автоматической телефонной станции (АТС), которая имеет n линий связи. Моменты поступления вызовов на станцию являются случайными и независимыми друг от друга. Средняя плотность потока равна λ вызовов в единицу времени. Продолжительность каждого разговора является величиной случайной и подчинена показательному закону распределения. Среднее время одного разговора равно t_обс единиц времени.

Таблица 2.1 - исходные данные.

     

    Автоматические  телефонные станции относятся к  типу систем обслуживания с потерями (с отказами). Абонент получает отказ в случае, если все линии заняты.

    Для определения основных показателей  работы АТС необходимо рассчитать значение поступающей нагрузки в Эрлангах Ψ и вероятности, что из n-линий k будет занято.

    Для расчета используются формулы

    Далее следует определить вероятность  отказа Р_отказа , среднее число занятых и среднее число свободных линий, коэффициенты занятости и простоя линий и сделать вывод о качестве обслуживания абонентов и эффективности использования линий связи. 
 

     Решение: 

    Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:

Интенсивность потока обслуживания: 

1. Интенсивность нагрузки.

ρ = λ • t_обс = 2 • 0.5 = 1

Интенсивность нагрузки ρ=1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

3. Вероятность, что  канал свободен (доля времени простоя каналов). 

Следовательно, 37% в течение часа канал будет  не занят, время простоя равно t_пр = 22.1 мин.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p₁  = ρ¹/1! p₀ = 1¹/1! • 0.368 = 0.368

заняты 2 канала:

p₂  = ρ²/2! p₀ = 1²/2! • 0.368 = 0.184

заняты 3 канала:

p₃  = ρ³/3! p₀ = 1³/3! • 0.368 = 0.0613

заняты 4 канала:

p₄  = ρ⁴/4! p₀ = 1⁴/4! • 0.368 = 0.0153

заняты 5 канала:

p₅  = ρ⁵/5! p₀ = 1⁵/5! • 0.368 = 0.0031

заняты 6 канала:

p₆  = ρ⁶/6! p₀ = 1⁶/6! • 0.368 = 0.0005

заняты 7 канала:

p₇  = ρ⁷/7! p₀ = 1⁷/7! • 0.368 = 0.0001

заняты 8 канала:

p₈  = ρ⁸/8! p₀ = 1⁸/8! • 0.368 = 0

заняты 9 канала:

p₉  = ρ⁹/9! p₀ = 1⁹/9! • 0.368 = 0

заняты 10 канала:

p₁₀  = ρ¹⁰/10! p₀ = 1¹⁰/10! • 0.368 = 0

4. Доля заявок, получивших  отказ. 

Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие  заявки.

5. Вероятность обслуживания  поступающих заявок.

В системах с  отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность: Q = p_обс.

p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0 = 1

Следовательно, 100% из числа поступивших заявок будут  обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.

6. Среднее число  каналов, занятых  обслуживанием.

n_з = ρ • p_обс = 1 • 1 = 1 канала.

Среднее число простаивающих  каналов.

n_пр = n - n_з = 10 - 1 = 9 канала.

7. Коэффициент занятости  каналов обслуживанием. 

Следовательно, система на 10% занята обслуживанием.

8. Абсолютная пропускная  способность.

A = p_обс • λ = 1 • 2 = 2 заявок/мин.

9. Среднее время  простоя СМО.

t_пр = p_отк • t_обс = 0 • 0.5 = 0 мин.

12. Среднее число  обслуживаемых заявок.

L_обс = ρ • Q = 1 • 1 = 1 ед.

    Число заявок, получивших отказ в течение  часа: λ • p₁ = 0 заявок в мин.

Номинальная производительность СМО: 10 / 0.5 = 20 заявок в  мин.

Фактическая производительность СМО: 2 / 20 = 10% от номинальной производительности

    Литература:

1. Барсук В.А., Губин Н.М., Батый А.Р. Экономико-математические методы в планировании и управлении в отрасли связи. - М.: Радио и связь, 1984. Глава 10, § 10.2 и 10.3, стр. 184.
2. Губин Н.М., Добронравов А.С., Дорохов Б.С. Экономико-математические методы в планировании и управлении в отрасли связи. - М.: Радио и связь, 1993. Глава 6, § 6.4, стр. 96.

ЗАДАЧА 3.

    В таблице 3.1 приведены затраты времени  почтальона (в минутах) на проход между  пунктами доставки на участке. Используя  метод "ветвей и границ", найти маршрут почтальона, при котором затраты времени на его проход будут минимальными.

Таблица 3.1 - Исходные данные

 

    Возьмем в качестве произвольного маршрута:

    X₀ = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,6);(6,1)

    Тогда F(X₀) = 8 + 4 + 5 + 15 + 8 + 5 = 45

    Для определения нижней границы множества  воспользуемся операцией редукции или приведения матрицы по строкам, для чего необходимо в каждой строке матрицы D найти минимальный элемент.

    d_i = min(j) d_ij

 

    Затем вычитаем d_i из элементов рассматриваемой строки. В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке будет как минимум один ноль.

 

    Такую же операцию редукции проводим по столбцам, для чего в каждом столбце находим  минимальный элемент:

d_j = min(i) d_ij