Министерство  образования Российской Федерации

Челябинский государственный университет

Институт  экономики отраслей, бизнеса и  администрирования

Кафедра экономики отраслей и рынков

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа

По дисциплине: « Математические методы в экономике»

Вариант № 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                 Выполнила: ст. гр.

                                                                 Проверила: преп.

Шатин И.А. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Челябинск

2011 

    Задание 1. Составить линейную оптимизационную модель и решить любым известным способом.

    Фирма выпускает три вида изделий. В  процессе производства используются три  технологические операции. На рис. 1.1 показана технологическая схема  производства изделий.

 
 

      Рис. 1. 1 Технологическая схема производства

    Фонд  рабочего времени ограничен следующими предельными значениями: для первой операции – 430 минут, для второй – 460 мин., для третьей – 420 мин. изучение рынка сбыта показало, что ожидаемая прибыль от продажи одного изделия видов 1, 2 и 3 составляет 3, 2 и 5 рублей соответственно.

    Построить математическую модель, позволяющую  найти наиболее выгодный суточный объем  производства каждого вида продукции.

    Решение:

    Пусть х₁, х₂ и х₃ – объем выпуска продукции соответственно первого, второго и третьего видов.

    Фонд  времени (ресурсы) имеет ограничение:

    Общая длительность первой операции не может  превышать 430 минут и составляет 1 минута на изделие 1, 2 минуты на изделие 2 и 1 минута на изделие 3. Значит, первое ограничение задачи будет выглядеть следующим образом: х₁ + 2х₂ + х₃ ≤ 430.

    Аналогичным образом составляются ограничения  и по остальным операциям: 3х₁ + 2х₃ ≤ 460 (для операции 2) и х₁ + 4х₂ ≤ 420 (для операции 3).

      Общая прибыль от реализации изделий составит: 3х₁ + 2х₂ + 5х₃. Данная функция является целью задачи и должна стремиться к максимуму. Кроме того, необходимо учитывать неотрицательность переменных задачи, так как объем не может быть отрицательным.

    Таким образом, математическая модель имеет вид:

    Z (x) = 3х₁ + 2х₂ + 5х₃ → max,

    

    Решим задачу симплексным методом.

    Для этого приведем задачу к каноническому  виду, вводя неотрицательные переменные х₄, х₅ и х₆ так, чтобы неравенства стали равенствами. В целевую функцию данные переменные войдут с нулевым значением, чтобы значение целевой функции не изменилось.

    Z (x) = 3х₁ + 2х₂ + 5х₃ + 0х₄ + 0х₅ + 0х₆→ max,

    

    Составляем  симплексную таблицу.

    Поскольку среди переменных х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆ имеются три единичных, базисных вектора, для данной задачи можно непосредственно записать опорный план. Выразим х₄, х₅ и х₆ через х₁, х₂ и х₃.

    

    Полагая, что переменные х₁, х₂ и х₃ равны нулю, получим базовый план:

    Х* = (0; 0; 0; 430; 460; 420), определяемый системой трехмерных единичными переменными х₃, х₄, х₅, которые образуют базис трехмерного векторного пространства.

    Все описные ниже вычисления  приведены  в таблице. Записываем опорное решение  в симплексную таблицу и вычисляем оценки разложений векторов условий по базису этого решения. Данное решение не является оптимальным. Вводим в базис переменную х₂ вместо х₄.

    Таблица 1.1

 

    В последней симплексной таблице в Z – строке нет отрицательных чисел. Это означает, что найденный опорный план является оптимальным и функция примет значение, равное Z = 1350 руб.

    Следовательно, план выпуска продукции, включающий изготовление 100 изделий вида II и 230 изделий вида III, является оптимальным. При данном плане выпуска изделий полностью используется фонд рабочего времени на проведение операций 1 и 3 и остается неиспользованным 20 минут на операции 2 типа.  
 
 

    Задание 2. Сетевое и календарное планирование

    Построение  структуры сетевого графика, построение календарного графика, расчет и представление  на графике временных характеристик  событий, расчет временных характеристик  работ (N = 1, a = 1, b = 0, c = 3)

 

    Рис. 2 Сетевое и календарное планирование

    Решение:

    Так как путь (2; 7) и (6; 9) равны нулю, то уберем их из графика.