Контрольная работа по "Эконометрике"

Вариант № 19 
 

Задача  №1.

На основе имеющейся  базы данных магазина, торгующего подержанными автомобилям и требуется провести анализ зависимости цены автомобиля У от его возраста Х₁ и мощности двигателя Х₂ из базы данных. 

 

1.Парные  зависимости. 

1. Построим поля рассеяний для цены У и возраста автомобиля Х₁, а так же для цены У и мощности двигателя Х₂. На основе их визуального анализа выдвинем гипотезы о виде статистической зависимости у от х₁ и у от х₂ и запишем их математически.

 

Построим  поля рассеяния для зависимости  y(x₁) и y(x₂): 

    

 

    

 

    На  основе анализа полей рассеяния  выдвигаем гипотезы о том, что  зависимость цены автомобиля У от его возраста Х₁ и мощности двигателя Х₂ описывается линейной регрессионной моделью и соответственно. 

    1.2. Методом наименьших квадратов  найдём оценки уравнений регрессии:

      и   

 Найдем  точечные оценки параметров модели. Для этого составим вспомогательную расчетную таблицу

 
 

    Для нахождения параметров уравнения регрессии  составляется система линейных уравнений 

      

    Коэффициенты  этой системы находятся по формулам: 
 

     , , ,  

     , ,  

     ,

    

      

     ,  

      
 

    1.3. С помощью коэффициентов парной  корреляции, проанализируем тесноту  линейной связи между ценой  и возрастом автомобиля, а также  между ценой и мощностью двигателя.  Проверим их значимость с надёжностью  0,9: 

    Коэффициенты  парной корреляции вычисляются по формуле 

      

    Рассчитаем  матрицу парных коэффициентов корреляции 

    

      

    Проверим  значимость парных коэффициентов корреляции. Для этого рассчитаем значения выражения  для каждого значения r_ij. 

    

    

    Т.к. условие  > t_0,95;14=1,761 выполняется, то коэффициенты парной корреляции статистически значимы, т.е. они существенно отличны от нуля. 

4. Проверим статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надёжностью   0,9:

Проверим с помощью  критерия Фишера значимость уравнения  регрессии (адекватность модели исследуемой  зависимости): 

1)

Рассчитаем  коэффициенты детерминации для зависимости y от x₁:

,

т.е. вариация цены на 79,4% объясняется возрастом автомобиля; 

Рассчитаем  фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:

Пусть доверительная вероятность р=0,9. По таблице найдём: F_t(0.1; 1; 14)=3,1

Т.к. F_Ф >F_t (0,1; 1; 14), то признается статистическая значимость уравнения. 

Проверим статистическую значимость параметров полученной модели:

Для парной регрессии  существует связь между статистиками Стьюдента и Фишера:

     ,

    Для зависимости y от x₁ получаем: . Т.к. это значение больше =1,761, поэтому гипотезу о равенстве нулю коэффициента a₁ отвергаем. 

2)

Рассчитаем  коэффициенты детерминации для зависимости  y от x₂:

,

т.е. вариация цены на 65,8% объясняется мощностью  двигателя; 

Рассчитаем фактическое  значение F-статистики Фишера:

Пусть доверительная вероятность р=0,9. По таблице найдём: F_t(0.1; 1; 14)=3,1

Т.к. F_Ф >F_t (0,1; 1; 14), то признается статистическая значимость уравнения. 

Проверим  статистическую значимость параметров полученной модели: .

Для парной регрессии  существует связь между статистиками Стьюдента и Фишера:

    

    Для зависимости y от x₂ получаем: . Полученное значение также больше 1,761, поэтому гипотезу о равенстве нулю коэффициента b₁ также отвергаем. 
 

5. Построим доверительные  полосы надёжности для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также от мощности двигателя. Изобразим на графике поля  рассеяния, прямые регрессии  и доверительные полосы.

 

Доверительные интервалы находятся по формуле 

     , где 

    y_в, y_н – верхняя и нижняя граница доверительного интервала

     - значение независимой переменной  x, для которой определяется доверительный интервал

     - квантиль распределения Стьюдента  с доверительной вероятностью 1-a и числом степеней свободы n-2. При a=0,1 t_0,05;14=2,145.

    Значение  S_y определяется по формуле: 

     ,  

    Расчеты доверительных интервалов для среднего значения цены автомобиля в зависимости  от его возраста проведём в таблице: