Контрольная работа по "Эконометрике"

Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 199Х г.

Требуется:

1.  Построить линейное уравнение парной регрессии y по x.

2.  Рассчитать  линейный  коэффициент  парной  корреляции,

коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.

3.  Оценить

  статистическую  значимость  уравнения  регрессии  в

целом и отдельных параметров регрессии и корреляции с помощью  F-

критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

4.  Выполнить  прогноз  заработной  платы  y  при  прогнозном

значении  среднедушевого  прожиточного  минимума  x,  составляющем

107% от среднего уровня.

5.  Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его

доверительный интервал.

6.  На  одном  графике  отложить  исходные  данные  и теоретическую прямую.

Решение:

1. Для  расчета  параметров  уравнения  линейной  регрессии  строим

расчетную таблицу 2.

Таблица 2

По формулам  находим параметры регрессии:

b = (11895, 75 – 135, 42 * 86, 75) /  7683, 75 - 86,752 = 148,06 / 158,19 = 0,94;

a = 135, 42 – 0, 92 * 86, 75 = 55, 61.

Получено уравнение регрессии:

у = 55,61 + 0,94 * х.

Параметр  регрессии  позволяет  сделать  вывод,  что  с  увеличением среднедушевого  прожиточного  минимума  на  1  руб.  среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,94 руб. (или 94 коп.). После  нахождения  уравнения  регрессии  заполняем  столбцы  7–10 таблицы 2.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

r ху = b (х / у) = 0,94 (13,14 / 14,96) = 0,826

Т.к. значение коэффициента корреляции больше 0,7, то это говорит о наличии весьма тесной линейной связи между признаками.

Коэффициент детерминации:

r ху 2 = 0,682

Это означает, что 68 % вариации заработной платы (y) объясняется вариацией фактора x – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Ā = 1 /n  Ai = 57,88 / 12 = 4,82 %

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как  A не превышает 10%.

3. Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем  с  помощью  F-критерия  Фишера.  Фактическое  значение  F- критерия по формуле составит:

Fфакт = r ху 2 / 1 - r ху 2 * (n – 2) = 0,682 / 1 – 0,682 * 10 = 21,45

Табличное  значение  критерия  при  пятипроцентном  уровне значимости  и  степенях  свободы  k1  = 1 и k2 = 12 – 2 = 10 составляет Fтабл = 4,96. Так как Fфакт = 21,45 > Fтабл = 4,96, то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку  статистической  значимости  параметров  регрессии  и корреляции проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из параметров.

Табличное  значение  t-критерия  для  числа  степеней  свободы df=  n – 2 = 12 – 2 = 10   и уровня значимости α = 0,05  составит  tтабл = 2,23.

Определим стандартные ошибки ma, mb, mr ху (остаточная дисперсия на одну степень свободы) S2ост = 827, 56 / 10 = 82,76

ma = √ 82,76 * (92205 / 122 * 172,57) = √ 82,76 * (92205 / 24850,08) = √ 82,76 * 3,71 = √ 307, 04 = 17,52

mb = √82,76 / 12 * 172,57 = √82,76 / 2070,84 = 0,040

m r ху = √1 – 0,682 / 12 – 2 = √ 0,0318 = 0,178.

Тогда, ta = a / ma = 55,61 / 17,52 = 3,14

           tb = b / mb = 0,94 / 0,040 = 23,5

            t r ху  = r ху / m r ху = 0,826 / 0,178 = 4,64

Фактические  значения  t-статистики  превосходят  табличное значение:             

ta = 3,14 > tтабл. = 2,3; tb = 23,5 > tтабл. = 2,3; t r ху  = 4,64 > tтабл. = 2,3, поэтому параметры а, b, и rху не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

∆а = tтабл * ma =  2,23 * 17,52 = 39,07

∆b = tтабл * mb =  2,23 * 0,040= 0,089

Доверительные интервалы

γа = а + ∆а  = 55,61 + 39,07 и 16,54 ≤ а* ≤ 94,68

γb = b + ∆b  = 0,94+ 0,089 и 0,851 ≤ b* ≤ 1,029

Анализ  верхней  и  нижней  границ  доверительных  интервалов  приводит к выводу о том, что с вероятностью  p = 1- α = 0,95   параметры a  и b,  находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е.  являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его  для  прогноза.  Если  прогнозное  значение  прожиточного  минимума составит: х0 = 86,8 * 1,07 = 92,88 руб., тогда индивидуальное прогнозное значение заработной платы составит: ŷ0 = 55,61 + 0,94 * 92,88 = 142,92.

5. Ошибка прогноза составит:

m ŷ0 = √82,76 * (1 + 1/ 12  +   (92,88 – 86,8) 2/ 12 *172,57)  =√82,76 * 1,08 + 178,52 = 21,92

Предельная  ошибка  прогноза,  которая  в  95%  случаев  не  будет превышена, составит:

∆у0 = tтабл. * m ŷ0 = 2,23 * 21,92 =48,88

Доверительный интервал прогноза

γ у0 =  ŷ0 + ∆у0 = 142,92 + 48,88 и  94,04 ≤ ŷ0 ≤ 191,80

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным (p = 1 – α = 1 – 0,05 = 0,95) и находится в пределах от 94,04 руб. до 191,80 руб.

6. В  заключение  решения  задачи  построим  на  одном  графике исходные данные и теоретическую прямую:

Задание № 2

По данным о значениях производительности труда - хi и прибыли yi выполните следующие задания:

1. Постройте диаграмму рассеяния признака.

2. Определите параметры уравнения парной линейной регрессии.

3. Рассчитайте линейный коэффициент, коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации.

4. С вероятностью 0,95 (на уровне значимости 0,05) оцените статистическую значимость каждого параметра уравнения регрессии. Найдите доверительные интервалы для их значений.

5. С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость уравнения регрессии в целом.

6. С вероятностью 0, 95 постройте точечный и интервальный прогноз ожидаемого значения результативного признака в предположении, что значение признака фактора увеличится на 5 % относительно своего среднего уровня.

Решение:

1. Построение  диаграммы рассеяния признака.

2. Определите параметры уравнения парной линейной регрессии

Для определения неизвестных параметров b0 , b1 уравнения парной линейной регрессии (1) используем стандартную систему нормальных уравнений, которая имеет вид:

   (1)

Для решения этой системы вначале необходимо определить значения величин Σ x2 и Σ ху. Эти значения определяем из таблицы исходных данных, дополняя ее соответствующими колонками (табл. 1).

Таблица 1

Данные для определения Σ x2 и Σ ху