Автор работы: Пользователь скрыл имя, 17 Февраля 2012 в 17:26, контрольная работа
Работа содержит решение 5 задач. Задание 1. Объем выпуска продукции зависит от количества вложенного труда x как функция. Цена продукции , зарплата . Другие издержки не учитываются. Найти оптимальное количество вложенного труда....
Математические модели в экономике
Задание 1
Объем выпуска продукции зависит от количества вложенного труда x как функция. Цена продукции , зарплата . Другие издержки не учитываются. Найти оптимальное количество вложенного труда.
.
Решение.
Прибыль определяется выражением:
.
Найдем экстремум этой функции, для чего определяем производную функции прибыли:
откуда , это значение соответствует минимуму функции :
, прибыль отрицательна.
Функция
возрастает при
, с увеличением количества вложенного
труда прибыль увеличивается.
Задание 2
Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите равновесную цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.
.
Решение.
Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предложения:
откуда равновесная цена
.
Выручка при равновесной цене
.
Задание 3
Найдите решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры).
.
Решение.
Седловой точки нет.
Обозначим оптимальную стратегию Первого: , а оптимальную стратегию Второго .
Выигрыш
Первого – это случайная
:
| 3 | -3 | -2 | 1 |
Математическое ожидание случайной величины - средний выигрыш за партию Первого:
Для нахождения оптимальных стратегий необходимо, чтобы
,
это условие выполняется при , в этом случае
.
Итак, оптимальная стратегия Первого , Второго - .
Цена
игры равна
.
Задание 5
Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания , представить результата сглаживания графически, определите для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага вперед.
.
Решение.
а) Среднее арифметическое членов ряда
,
среднеквадратическое отклонение
.
Находим значения ,
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| - | 0,62 | 1,24 | 0 | 0,62 | 0,62 | 0,62 | 0,62 | 1,24 | 0,62 |
Значение
критерия Ирвина при
(для уровня значимости
)
, так как все значения
, то аномальных значений ряда нет.
б) Сгладим ряд методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания 3:
,
.
Для метода экспоненциального сглаживания ( ):
,
в нашем случае .
Результаты расчетов сведем в таблицу:
| 1 | 75 | 76,20 | |
| 2 | 76 | 76,33 | 76,18 |
| 3 | 78 | 77,33 | 76,36 |
| 4 | 78 | 78,33 | 76,53 |
| 5 | 79 | 79,00 | 76,77 |
| 6 | 80 | 79,33 | 77,10 |
| 7 | 79 | 79,67 | 77,29 |
| 8 | 80 | 79,00 | 77,56 |
| 9 | 78 | 79,00 | 77,60 |
| 10 | 79 | 77,74 |
в) Далее определим трендовую модель для ряда в виде полинома первой степени: , для определения коэффициентов воспользуемся методом наименьших квадратов.
Для полинома первой степени система уравнений имеет вид:
Имеем , , , ,
Решая систему, найдем .
Итак, .
г) Теперь дадим точечный и интервальный прогнозы на три шага вперед.
Подставив в уравнение модели значения , получим точечные прогнозы:
Определим среднюю квадратическую ошибку прогнозируемого показателя:
,
Значения величины для (уровень значимости ):
для ,
для ,
для .
Доверительный интервал:
| Шаг | Точечный прогноз | Доверительный интервал прогноза | ||
| Нижняя граница | Верхняя граница | |||
| 11 | 1 | 80,33 | 78,44 | 90,22 |
| 12 | 2 | 80,72 | 78,74 | 82,7 |
| 13 | 3 | 81,11 | 79,03 | 83,19 |