¹[5 с.319]

   Требуется:

   а) найти, сколько требуется произвести продукции каждого вида, чтобы  получить максимальную прибыль;

   б) определить, сколько всего будет  израсходовано каждого вида сырья;

   в) определить, сколько останется неизрасходованного сырья каждого вида на складе;

   г) прибыль при полученном оптимальном  плане производства;

   д) составить двойственную задачу для  данной задачи линейного программирования и найти ее решение. 

 

   Решение

Математическая  модель задачи:

1. Переменные задачи. Обозначим количество единиц продукции x_i (кг) (i = 1,2).

Это переменные задачи, значения которых  должны быть определены в процессе решения. x₁ (кг) – это количество единиц продукции A,  x₂ (кг) – это количество единиц продукции B.

   2) Ограничения на переменные задачи. Очевидно, что все переменные задачи не отрицательные и целые числа, т.е. X_i 0                                                                    (1)

   Кроме этого, должны быть удовлетворяться  следующие условия (ограничения по ресурсам):

     2 X₁₁ +2 X₁₂  ≤ 1652         (2)

                                 6 X₂₁ + 8 X₂₂ ≤ 2015                (3)

                                 2 X₃₁ + 6 X₃₂ ≤ 1761                   (4)

Функция цели:   

   Решение проведем с использованием пакета прикладных программ (ППП) MS Excel 2007, воспользовавшись его инструментом «Поиск решения». 

 

Рисунок 4.1 

Заполним рабочий  лист формулами как показано на рисунке 4.1.

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 4.2. 

Заполняем окно «Поиск решения» как показано на рис. 4.2

   Результат расчета показан на рисунке 4.3: 

Рисунок 4.3 

Рисунок 4.4 

   «Двойственная задача»¹ имеет вид: 

   F =   

                                       
 
 

Выводы:  

   1. Максимальная прибыль составит 14 105 руб., при следующем плане выпуска:

              - продукции типа А выпуск должен быть 335,830 кг

              -  выпуск продукции типа B в оптимальный план не входит

   2. Ресурс 2 – дефицитен (реализован полностью, остаток на складе  = 0 кг),

       Ресурса 1 – расход составил 671,667 кг. (остаток на складе  = 980,333  кг),

      Ресурса 3 – расход составил 671,667 кг. (остаток на складе  = 1089,333кг) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

¹[1 с.8]

 

      Задание № 5. Линейная модель транспортной задачи

 

   Туристическая фирма, обслуживающая делегатов, прибывающих  на конференцию, должна разместить их в 4 отелях: “Морской”, “Солнечный”, “Слава”  и “Уютный”, в которых забронированы  места согласно таблице (см. свой вариант). Туристы прибывают по железной дороге, на теплоходе на морской вокзал и прилетают очередным рейсом в аэропорт. Транспортные расходы при перевозке из пунктов прибытия в отели приведены в таблице (см. свой вариант).

   В условиях жесткой конкуренции фирма  должна минимизировать свои расходы, значительную часть которых составляет именно транспортные расходы. Требуется определить такой план перевозки туристов из пункта прибытия в отели, при котором  суммарные транспортные расходы будут минимальны и все туристы будут размещены в отелях.

   Таблица данных для  варианта № 1

 

   Решение 

   Математическая  модель задачи:

   1) Переменные задачи. Обозначим количество туристов, которые будут перевозиться из пункта i в отель j как X_ij (i=1,2,3; j=1,2,3,4). Это переменные задачи, значения которых должны быть определены в процессе решения. X_ij – это число туристов, которое должно быть перевезено из пункт i в пункт j. В задаче содержится 3*4=12 переменных.

   2) Ограничения на переменные задачи. Очевидно, что все переменные задачи не отрицательные и целые числа, т.е.

                           X_ij 0,                     (1)

                           X_ij – целые числа,                    (2)

                           где i=1, 2, 3; j=1, 2, 3, 4.

   Кроме этого, должны быть удовлетворяться  следующие условия. Число туристов, вывозимых с железнодорожного вокзала (пункт 1) равно 13, поэтому :

               X₁₁ + X₁₂ + X₁₃ + X₁₄ = = 13         (3)

   Аналогично  для аэропорта (пункт 2):

               X₂₁ + X₂₂ + X₂₃ + X₂₄ = = 18             (4)

   И для морского вокзала (пункт 3):

               X₃₁ + X₃₂ + X₃₃ + X₃₄ = = 24                   (5)

   По  условию задачи в отеле “Морской” (пункт 1) забронировано 5 мест, поэтому:

                     X₁₁ + X₂₁ + X₃₁ = = 8            (6)

   Аналогично, для отеля “Солнечный” (пункт 2):

                     X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ = = 15        (7)

   Для отеля “Слава” (пункт 3):

                     X₁₃ + X₂₃ + X₃₃ = = 20        (8)

   Для отеля “Уютный” (пункт 4):

                     X₁₄ + X₂₄ + X₃₄ = = 12       (9)

   F – функция цели:

   Модель  закрытая:  «Всего забронировано мест» = «Всего прибывает туристов» = 55.

   Решение проведем с использованием пакета прикладных программ (ППП) MS Excel 2007, воспользовавшись его инструментом «Поиск решения».

   Заполним  рабочий лист формулами как показано на рисунке 5.1: 

     

   Рисунок 5.1 

Заполняем окно «Поиск решения» как показано на рис. 5.2 

 

Рисунок 5.2 

В результате получаем решение:  (Рисунок 5.3)

   В результате получаем решение:  (Рисунок 5.3).

 

Рисунок 5.3 

Вывод:  минимальные транспортные расходы составляют 190 денежных единиц.

План перевозки туристов из пункта прибытия в отели, при котором суммарные транспортные расходы будут минимальны, и все туристы будут размещены в отелях, показан на следующем рисунке 5.4  

   

   Рисунок 5.4

 

Задание № 6. Линейная модель задачи о назначениях

 

    В конкурсе на занятие пяти вакансий (V1, V2, V3, V4, V5) участвуют семь претендентов (P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7). Результаты тестирования каждого претендента, на соответствующие вакансии, даны в виде матрицы - С (тестирование производилось по десятибалльной системе). Определить, какого претендента и на какую вакансию следует принять, причем так, чтобы сумма баллов всех претендентов оказалась максимальной.

    Матрица С: