Решение

1) Переменные задачи.

   Ведем переменные x_ij принимающие два значения:

   x_ij = 0, если i-й претендент (P_i) не принимается на j-ю   вакансию (V_j).

   x_ij = 1, если i-й претендент (P_i) принимается на вакансию (V_j).

   i = 1,2,...7; j=1,2,...5.

2) Ограничения на переменные задачи.

   Все переменные задачи неотрицательные  и целые числа: x_ij 0  и x_ij - целые.

   Кроме того, так как каждый претендент может занять только одну вакансию и все вакансии должны быть заняты, должны удовлетворяться следующие ограничения:

   

, j = 1,2,...7 ,

   

, i = 1,2,...5 ,

   В матрице (x_ij) суммы элементов по каждой строке и суммы элементов по каждому столбцу должны быть равны единицам. Это условие означает, что выбор претендентов должен быть таким, чтобы в матрице (x_ij), представляющей решение задачи, было бы по одной единице в каждой строке и по одной единице в каждом столбце, остальные элементы матрицы должны равняться нулю.

3) Целевая функция в задаче о назначениях.

   Необходимо  выбрать претендентов так, чтобы  суммарное число очков, набранное  ими было бы максимальным. Суммарное  число набранных очков вычисляется  по формуле:

   

;

   Z = c₁₁x₁₁ + c₁₂x₁₂ + ... + c₇₅x₇₅ = 7x₁₁ + 5x₁₂ + ... + 4x₇₅;

   Окончательная математическая модель задачи записывается так:

   найти max

;

   при ограничениях:

   x_ij

0  и x_ij - целые числа, i=1,2,...7; j=1,2,...5;

   

, j=1,2,...7 ;

   

, i=1,2,...5 . 

Ввод  данных. «Переносим данные задачи в EXCEL»¹, при этом нужно ввести 2 столбца (6-ой и 7-ой) с нулевыми значениями для сбалансирования задачи. Результаты заполнения таблицы EXCEL можно увидеть на рис.6.1 :  

 

Целевая функция заносится в ячейку B23 и вычисляется по формуле «=СУММПРОИЗВ(B2:H8;B13:H19)»

Заполнение  окна процедуры «Поиск решения»:

¹[5 с.75] 

В окне «Параметры» установить «Линейная  модель», что соответствует решению  «задачи симплекс-методом»¹. Результаты заполнения окна показаны на рис.6.2: 

 

   Рис.6.2 

Выполнив  процедуру «Поиск решения» мы получили следующие результаты (рис.6.3): 

   

 

   Рис.6.3 

Вывод:    Функция цели достигает максимума (39 баллов) при следующем назначении:  - претенденты P2 и  P7 выбывают из конкурса. P1→V4; P3→V1; P4→V5;   P5→V2;  P6→V3.          Все должности при этом распределении заняты. 
 
 

¹[2 с.246]

 

Задание № 7. Расчет биноминального критерия и критерия согласия  χ ²  

   Проведено исследование, в котором проводилось  сравнение экономической эффективности управленческих решений в одной муниципальной администрации с экономической эффективностью управленческих решений в целом по всему региону. Средняя эффективность управленческих решений в целом по всему региону составила K %, а в заданной муниципальной администрации средняя эффективность управленческих решений L % . Можно ли на этом основании сделать вывод о том, что в заданном муниципальной администрации экономическая эффективность управленческих решений статистически выше, чем в целом по всему региону, если было проанализировано N управленческих решений, принятых в муниципальной администрации? (Значения N, K, L см. в таблице ниже согласно своему варианту)

   Цель  задания. Освоение метода анализа классификации при сравнении эмпирического и теоретического распределений в случае двух градаций (применяются биноминальный критерий или критерий  χ²).

 

   Решение

 Сформулируем  гипотезы:

• H₀: В заданном муниципальной администрации частота экономически эффективных управленческих решений не превышает средней частоты экономически эффективных управленческих решений в целом по всему региону;
• H₁: В заданном муниципальной администрации частота экономически эффективных управленческих решений статистически выше, чем в целом по всему региону.

Будем считать, что вероятность проявления агрессии у студентов совпадает  с частотой его проявления у всех студентов вуза = 0,18. Используя данные таблицы 9, найдем эмпирическую частоту проявления агрессии у студентов-психологов по формуле = 0,50. Таким образом, получаем.

Так как: f_эмп  >  f_теор,   и объем выборки удовлетворяет условию: ,  то применим биномиальный критерий. Согласно биномиальному критерию подтверждается гипотеза H₁:  f_эмп достоверно выше f_теор.

Таким образом, в заданном муниципальной администрации частота экономически эффективных управленческих решений статистически выше, чем в целом по всему региону.

Задание № 8. Анализ таблиц сопряженности (кросстабуляции).

 

   Перед избирательной кампанией необходимо определить на какую целевую аудиторию  должна быть направлена политическая реклама. Для каждого респондента репрезентативной выборки определены а) пол; б) один из пяти предпочитаемых политических лидеров. Проверить гипотезу о зависимости политических предпочтений от пола (см. таблицу соответствующую номеру варианта).

Вариант 1.

 

   Решение

Сформулируем  гипотезы:

• H₀: Распределение предпочтений покупателей не зависит от их пола;
• H₁: Распределение предпочтений покупателей зависит от их пола.

Для проверки гипотезы H₀ будем использовать метод, получивший название c² (хи-квадрат) критерий.

   

   где    – фактическая частота в i-ой строке, j-ом столбце таблицы сопряженности;

 – ожидаемая частота в i-ой строке, j-ом столбце таблицы сопряженности;

 r = число строк в таблице сопряженности;

 c = число столбцов в таблице сопряженности.

Найдем  фактические частоты, которые находятся  делением значения, записанного в соответствующей ячейке таблицы на общее число наблюдений (число в правом нижнем углу таблицы). Результаты запишем в таблицу 21.

   Таблица 21 – Таблица фактических частот заданных номинативных признаков

   

Теперь  найдем ожидаемые частоты, которые находятся делением произведения двух соответствующих этой клетки сумм, записанных по краям таблицы, на сумму всех наблюдаемых частот. Результаты запишем в таблицу 22.

   Таблица 22 – Таблица ожидаемых частот заданных номинативных признаков

   

Следовательно, = 4,1.

Вычисленную величину c² сравним со стандартными значениями. Если она превышает то или иное стандартное значение, исходная гипотеза о независимости признаков отвергается на соответствующем уровне значимости. Для этого найдем число степеней свободы. В случае, когда по каждому признаку подразделяют не менее трёх градаций, число степеней свободы находят по формуле: n = (r - 1) + (c -1), где r - число градаций в первой классификации, c - во второй классификации. Если же одна из классификаций содержит только две градации, то n = (c – 1), где с – число градаций в более дробной классификации. Следовательно, в нашем случае n= 4 – 1 = 3.

Из таблицы 23 видим, что фактическая величина c² заметно превосходит все представленные в таблице критические значения, следовательно гипотеза Н₀ о независимости распределения предпочтений потребителей от пола должна быть отвергнута.

Таким образом, рассматриваемое в задание распределение предпочтений потребителей статистически значимо зависит от их пола. 
 
 
 
 

   Таблица 23 – Стандартные значения распределения c²

     Задание № 9. Стохастическая модель анализа серий

 

   У казино возникло подозрение в мошенничестве  одного из игроков. (у игрока наблюдались частые повторы проигрышей в начале и выигрышей – в конце последовательности игр – т.е. проверяется направленная гипотеза). Игроком сыграно N партий, из них проиграно M, выиграно L, число серий W. К концу последовательности игр наблюдается преобладании выигрышей. Проверить гипотезу о мошенничестве игрока на уровне значимости 0,05 с применением двухстороннего Z-критерия серий.

 

Решение