Задачи по "Эконометрике"

p align="justify">     Так как F₀ > F_кр, гипотезу H₀ : b = 0 следует отвергнуть и считать, что результаты наблюдений не противоречат предложению о линейной связи между х и у.

5. Дадим интерпретацию оценкам коэффициентов регрессии.

  Оценка  параметра  = 0,4302 означает, что увеличение доли численности занятых людей на единицу, приводит к увеличению  объема производства в среднем на 0,4302 млн. руб.

  Оценка  = 3,8834 формально означает среднее значение у, когда х = 0, то есть это средний объем производства при отсутствии численности занятых человек. Следует иметь в виду, что интерпретация оценки сводного члена модели может иметь или не иметь реального смысла в зависимости от конкретной задачи.

6. Прогноз на основе построенной и верифицированной линейной модели может быть точечным и интервальным. В случае точечного прогноза для х₀ = 35(тыс. дол.) мы получаем:

  

29,6954.

  Для построения интервальной оценки прогнозируемой величины у₀ используем формулу

  где t_0,95 = 2,365,

  в нашем  примере

0,35508;

  и 29,6954 – 2,365 * 0,35508 < y₀ < 29,6954+ 2.365 * 0,35508.

  Таким образом, доверительный интервал имеет следующий  вид:

25,623298 < y₀ < 33,76916.

     Если  численность занятых работающих будет 60 чел., то мы на 95% уверены в том, что объем производства будет увеличен в пределах от 25,6 до 33,8 млн. рублей.

     Задача 2

     Аппроксимировать  данные задачи 1 нелинейной моделью  у = ае^bx.

     Рассчитать  индекс корреляции, пояснить его смысл. Охарактеризовать тесноту связи между численностью рабочих и объемом производства. 

     Решение. Преобразуем уравнение у = а*е^bx в линейное путем логарифмирования lny = lna+bx.

     Если  обозначить у΄= lny,  a΄= lna, то будем иметь линейную по параметрам модель у΄= а΄+bx.

     Для определения оценок ΄ и используем формулы, приведенные выше. Необходимые расчеты сведем в табл. 4. 
 
 
 

Таблица 4

Результаты  наблюдений и необходимые расчеты

для построения линейной регрессии 

 

Используя данные столбцов 4-7 получим

2,441;

0,0146.

Так как a΄= lna, то оценкой а будет â = е^â΄ или â = exp(â΄).

В нашем примере  â = exp(â΄) = exp(2,441) = 11,4841.

Найденные оценки позволяют записать оцененное уравнение  регрессии

ŷ = 11,48412*е^0,0146.

    В случае нелинейных регрессий степень  концентрации наблюдаемых точек  вблизи линии регрессии или качество модели определяет индекс корреляции

     где ŷ_i – рассчитанные по модели значения переменной у, у_i – наблюдаемые значения, = - среднее значение у, найденное по n наблюдениям. 

     Для расчета сумм квадратов составим вспомогательную таблицу (табл. 5).

     Таблица 5

    Расчет  сумм квадратов

 

    Тогда

    Сравнивая индекс корреляции с коэффициентом  корреляции в линейной модели (r_B = 0,967591), можно сделать следующий вывод: нелинейная модель лучше аппроксимирует данные задачи, чем линейная. Близость индекса корреляции к единице свидетельствует о сильной связи между переменными, т.е. степенная модель в данной задаче является более подходящей, чем линейная.

Задача 3

    Имеются данные прибыли от вложенных  в  акции нескольких лиц в зависимости от риска и суммы вклада.

 
 

     Задание:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.
2. Сделать вывод о силе связи результата с каждым из факторов. Установить статистическую значимость каждого фактора.
3. Определить парные, т. е. линейные, и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции. Сделать вывод о наличии в построенной модели мультиколлинеарности факторов.
4. Дать оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F- критерия Фишера.
5. Ввести в модель и дать интерпретацию фиктивным переменным.

 

     Решение:

1. Линейное уравнение множественной регрессии будем искать в виде

     y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂,

     где b₀, b₁, b₂ – неизвестные параметры, вектор оценок которых находится по методу наименьших квадратов в форме

     

     Здесь Х – матрица величин, стоящих  при неизвестных параметрах модели, Y – вектор-столбец наблюдений над зависимой переменной у.

     В нашем примере Х^Т =

 

     
          Таким образом, уравнение множественной регрессии запишется как

ŷ=1,185+0,327х₁+0,028х_2.

    Дадим интерпретацию коэффициентам регрессии: означает, что при увеличении коэффициента риска на одну единицу прибыль возрастет на 0,327% при неизменном значении х_2; показывает, что, если сумма вклада возрастет на одну тысячу рублей, то прибыль возрастет на 0,028% при неизменном значении х_1.

    То  есть коэффициенты регрессии дают возможность  раздельно оценить влияние регрессоров  на у, они являются показателями силы связи, характеризующими абсолютное (в натуральных единицах измерения) изменение у при изменении каждого из х₁ и х₂ соответственно на единицу своего измерения при фиксированном значении второй переменной.

2. Относительные показателями силы служат частные коэффициенты эластичности.