Евклидова геометрия

Евклидова геометрия  ГОТОВО! 
 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..3

1. Теоретические  основы геометрии……………………………………………..4

2. Евклид  и его «Начала»…………………………………………………………5

3. Евклидова  геометрия…………………………………………………………...8

Список  литературы………………………………………………………………11

 
 

 

ВВЕДЕНИЕ

     Элементарная  геометрия — геометрия, определяемая, в основном, группой перемещений (изометрий) и группой подобия.

     Однако  содержание элементарной геометрии  не исчерпывается указанными преобразованиями. Так к элементарной геометрии также относят преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.

     Элементарную  геометрию часто называют евклидовой геометрией, так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и не достаточно строгое было в «Началах» Евклида. Первая строгая аксиоматика элеметарной геометрии была дана Гильбертом. Элементарная геометрия изучается в средней общеобразовательной школе. 

 

1. Теоретические основы  геометрии

     Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия» греческое, в переводе означает «землемерие».

     Люди  очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Это  требовало определенного запаса геометрических и арифметических знаний. Постепенно люди начали измерять и изучать свойства более сложных геометрических фигур.

     Уже за 2 тысячи лет до нашей эры люди умели определять площади треугольников, прямоугольников, трапеций, приближенно  вычислять площадь круга. Они знали также формулы для определения объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. Сведения по геометрии вскоре стали необходимы не только при измерении земли.

     Развитие  архитектуры, а несколько позднее  и астрономии, предъявило геометрии  новые требования. И в Египте и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых могло производиться только на основе предварительных расчетов. И все же, несмотря на то что человечество накопило такие обширные знания геометрических фактов, геометрия как наука еще не существовала.

     Геометрия стала наукой только после того, как в ней начали систематически применять логические доказательства, начали выводить геометрические предложения не только путем непосредственных измерений, но и путем умозаключений, путем вывода одного положения из другого, и устанавливать их в общем виде. Обычно этот переворот в геометрии связывают с именем ученого и философа VI века до нашей эры Пифагора Самосского.

     Однако  все новые проблемы и созданные  в связи с ними теории привели к тому, что совершенствовались сами способы математических доказательств, возрастала потребность создания стройной логической системы в геометрии.

     Не  позднее IV века до нашей эры греческие  математики при построении геометрии выбирали некоторые предложения, которые принимались без доказательства, а все остальные предложения выводили из них строго логически. Предложения, принятые без доказательства, назывались аксиомами и постулатами.

     Наиболее  совершенным образцом такой теории на протяжении более 2 тысяч лет служили  «Начала» Евклида, написанные около 300 года до нашей эры». 
 

2. Евклид и его  «Начала»

     О жизни Евклида (около 365 г. до нашей  эры — 300 г. до нашей эры) почти  ничего не известно. До нас дошли  только отдельные легенды о нем. Первый комментатор «Начал» Прокл (V век нашей эры) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид. По Проклу, «этот ученый муж» жил в эпоху царствования Птолемея I. Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

     Одна  из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», — ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.

     Царь  Птолемей I, чтобы возвеличить свое государство, привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них  храм муз — Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы и главное — великолепная библиотека. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии — столице Египта — математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд.

     Именно  в Александрии Евклид основывает математическую школу и пишет  большой труд по геометрии, объединенных под общим названием «Начала» — главный труд своей жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры.

     Предшественники Евклида — Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для  развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.

     Как современников, так и последователей Евклида привлекала систематичность и логичность изложенных сведений. «Начала» состоят из 13 книг, построенных по единой логической схеме.

     Каждая  из книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа основных положений (5 аксиом и 5 постулатов), принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.

     В то время развитие науки и не предполагало наличия методов практической математики. Книги I—IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы. В книге V разрабатывалось учение о пропорциях, которое примыкало к Евдоксу Книдскому. В книгах VII—IX содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских первоисточников. В книгах X—XII содержатся определения площадей в плоскости и пространстве (стереометрия), теория иррациональности (особенно в X книге); в XIII книге помещены исследования правильных тел, восходящие к Теэтету.

     «Начала»  Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием Евклидовой геометрии. В качестве постулатов Евклид выбрал такие предложения, в которых утверждалось то, что можно проверить простейшими построениями с помощью циркуля и линейки. Евклид принял также некоторые общие предложения-аксиомы, например, что две величины, порознь равные третьей, равны между собой. На основе таких постулатов и аксиом Евклид строго и систематично развил всю планиметрию.

     В «Началах» он описывает метрические  свойства пространства, которое современная наука называет Евклидовым пространством.

     Евклидово пространство является ареной физических явлений классической физики, основы которой были заложены Галилеем и Ньютоном. Это пространство пустое, безграничное, изотропное, имеющее три измерения. Евклид придал математическую определенность атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы. Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка — это неделимый атом пространства.

Бесконечность пространства характеризуется тремя  постулатами:

     «От всякой точки до всякой точки можно  провести прямую линию». «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой». «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг».

     Обычно  о «Началах» говорят, что после  Библии это самый популярный написанный памятник древности. Книга имеет свою, весьма примечательную историю. В течение двух тысяч лет она являлась настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии.

     «Начала» пользовались исключительной популярностью, и с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах. Позднее «Начала» с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу. На протяжении четырех столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6-7 изданий. До двадцатого века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

     «Начала»  Евклида были основательно изучены  арабами, а позднее европейскими учеными. Они были переведены на основные мировые языки. Первые подлинники были напечатаны в 1533 году в Базеле. Любопытно, что первый перевод на английский язык, относящийся к 1570 году, был сделан Генри Биллингвеем, лондонским купцом.

     Можно смело утверждать, что Евклид заложил основы не только геометрии, но и всей античной математики.

     Лишь  в девятнадцатом веке исследования основ геометрии поднялись на новую, более высокую ступень. Удалось выяснить, что Евклид перечислил далеко не все аксиомы, которые на самом деле нужны для построения геометрии. В действительности при доказательствах ученый ими пользовался, но не сформулировал. 
 

3. Евклидова геометрия

     Геометрия, систематическое построение которой  было впервые дано в 3 в. до н. э. Евклидом. Система аксиом Евклидовой геометрии опирается на следующие основные понятия:

     - точка,

     - прямая,

     - плоскость,

     - движение 

     и следующие отношения:

     - «точка лежит на прямой на  плоскости»,

     - «точка лежит между двумя другими».

     В современном изложении систему  аксиом Евклидовой геометрии разбивают на следующие пять групп.

     I. Аксиомы сочетания. 

     1) Через каждые две точки можно  провести прямую и притом только  одну.

     2) На каждой прямой лежат по  крайней мере две точки. Существуют хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой.

     3) Через каждые три точки, не  лежащие на одной прямой, можно  провести плоскость и притом только одну.

     4) На каждой плоскости есть по  крайней мере три точки и существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

     5) Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости.

     6) Если две плоскости имеют общую  точку, то они имеют ещё одну  общую точку (и, следовательно,  общую прямую).

     II. Аксиомы порядка.

     1) Если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой.

     2) Для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С.

     3) Из трёх точек прямой только  одна лежит между двумя другими. 

     4) Если прямая пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает ещё другую его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; соответственно определяются стороны треугольника).

     III. Аксиомы движения.