Мурманский  Государственный Гуманитарный Университет 
 
 
 
 
 
 
 
 

Реферат на тему

«Математическое искусство Мориса Эшера» 
 
 
 
 

Исполнитель –

Д. С. Карун, студентка

ПО-1 группы

ХОТиД факультета 
 
 

Мурманск

2010

 

Введение

 

     Еще в глубокой древности человеком  было обнаружено, что все явления  в природе связаны друг с другом, что всё пребывает в непрерывном движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности.

     Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено, что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание). Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что в основе мироздания лежат симметричные геометрические формы. Пифагорейцы искали математическое обоснование красоте. Они исследовали пропорции человеческого тела и утвердили математический канон красоты, по которому скульптор Поликлет создал статую "Канон".

     Вслед за пифагорейцами средневековый  ученый Августин назвал красоту "числовым равенством". Философ-схоласт Бонавентура  писал: "Красоты и наслаждения  нет без пропорциональности, пропорциональность же прежде всего существует в числах. Необходимо, чтобы все поддавалось  счислению". Об использовании пропорции  в искусстве Леонардо да Винчи  писал в своем трактате о живописи: "Живописец воплощает в форме  пропорции те же таящиеся в природе  закономерности, которые в форме числового закона познает ученый".

     Таким образом, пропорциональность, соразмерность  частей целого является важнейшим условием гармонии целого и может быть выражена математически посредством пропорций.

     Голландский художник Морис Корнилис Эшер, создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей. 

     Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Морису закончить образование, и он стал художником. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах («Time» и др.) он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.

     В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых  рассказывалось о мозаичном разбиении  плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами". Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства. 
 
 

 

1.Биография

 

     Морис Корнелиус Эшер родился в городе Лееварден в 1898 году. Он был младшим сыном в семье инженера, где, кроме него, было еще четверо детей. Старшие братья пошли по стопам отца, стали научными работниками и инженерами. А младший оказался не в ладах с математикой. В школе учился неважно (еще одна характерная деталь биографии знаменитого человека), лучше всего давалось ему рисование. В конце концов Эшер выбрал профессию художника-графика. Его отец, инженер-гидравлик, хотел, чтобы сын получил солидную профессию, и в 1919 году Эшер поступает в Гаарлемское училище архитектуры и декоративного искусства. Кстати оказавшись одним из первых, кто стал делать гравюры на новом для того времени материале — линолеуме. Хоть Эшер и посещал школу архитектуры и декоративных искусств в Гарлеме, он тем не менее не стремился что-либо построить.

                       

     В 1922 году, проучившись в училище  два года, Эшер переезжает в Италию, где проживет 13 лет. Каждое лето он путешествует по Южной Италии или Испании. Летние впечатления служат материалом для  гравюр, над которыми он работает зимой.

     К середине тридцатых годов политический климат в Италии стал нестерпимым. В 1935 году девятилетнего сына Эшера  обязали носить форму юного фашиста. Это послужило толчком к решению семьи переехать в Швейцарию.

     Холодная  снежная Швейцария действовала  на Эшера угнетающе. Он обратился  в морскую компанию, совершавшую  грузовые перевозки по Средиземному морю, с просьбой разрешить ему  путешествовать на ее судах с оплатой  гравюрами, выполненными в пути. Удивительно, но предложение было принято.

     Это было последнее большое путешествие  Эшера. Эшер провел 2 года в Швейцарии, 5 лет — в Брюсселе.  После этого он больше не нуждался во внешних впечатлениях для творчества.

     С 1941 года Эшер постоянно живет в  Голландии  в городе Барне. Всемирная известность пришла к нему в 1951 году после публикаций сразу в трех популярных журналах: «The Studio», «Time» и «Life». В 1954 году в Амстердаме состоялась большая выставка Эшера, приуроченная к Международному математическому конгрессу. Математики сразу признали художника «своим», с этого времени его рисунки – неизменный атрибут физико-математических изданий. Слава мало изменила образ жизни художника, который продолжал упорно работать.

     Математики  любят Эшера. В его гравюрах и  литографиях видят ключи к  доказательству теорем или оригинальные контр-примеры, бросающие вызов здравому смыслу. Их воспринимают как прекрасные иллюстрации к научным трактатам по кристаллографии, когнитивной психологии или компьютерной графики.

     Однажды известный геометр Г. Кокстер  пригласил Эшера на свою лекцию, посвященную математическому содержанию его гравюр и литографий. К взаимному  разочарованию, Эшер не понял почти  ни слова из того, о чем рассказывал  Кокстер.

     «Я  так ни разу и не смог получить хорошей  оценки по математике. Забавно, что  я неожиданно оказался связанным  с этой наукой. Поверьте, в школе  я был очень плохим учеником. И  вот теперь математики используют мои  рисунки для иллюстрации своих  книг. Представьте себе, эти ученые люди принимают меня в свою компанию как потерянного и вновь обретенного  брата! Они, кажется, не подозревают, что  математически я абсолютно безграмотен».

     И это говорит человек, без гравюр которого не обходится с середины прошлого века ни одна «иллюстрированная» книга по математике, физике, топологии, не говоря уж о популярных изданиях! (Кстати, советский научно-популярный журнал «Квант» публиковал Эшера  свыше 20 раз, «Знание-сила» - еще больше.)

     В его словах, наверное, есть доля преувеличения. Так, например, в августе 1960 года Эшер прочитал лекцию по кристаллографии  в Кембридже. Почему кристаллография? Видимо, потому, что из всех работ  Эшера лучше всего известные  его орнаменты (или мозаика), то есть периодическое заполнение плоскости  одинаковыми фигурами.

     В последние годы здоровье художника  заметно ухудшается, что не даёт Морису Эшеру работать в полную силу. Эшер скончался 27 марта 1972 года в госпитале нидерл. Diakonessehuis в Хилверсюме от рака кишечника. Похоронен в Барне на кладбище Ниве Алхемеен Бехраафсплаатц (нидерл. Nieuwe Algemeen Begraafsplaats). 

 

2.Творчество Мориса Эшера

 

     Для сюжетов «классических» произведений Эшера («Рисующие руки», «Метаморфозы», «День и ночь», «Рептилии», «Встреча», «Дом с лестницей» и т. д.) характерно остроумное осмысление логических и пластических парадоксов. В сочетании с виртуозной техникой это производит сильнейшее впечатление. Многие графические и концептуальные находки Эшера вошли в число символов XX века и впоследствии неоднократно воспроизводились или «цитировались» другими художниками.

     В то же самое время работы Эшера  подчёркнуто относятся к элитарному искусству. Это даже вызывало критику  его творчества как непонятного  рядовому зрителю.

     В процессе работы художник брал идеи из математических статей, в которых  рассказывалось о мозаичном разбиении  плоскости, проецировании трёхмерных фигур на плоскость, неевклидовой геометрии, «невозможных фигурах», логике трёхмерного  пространства. Хотя Эшер не принадлежал  к основному потоку авангардного искусства XX века, считается, что его  творчество следует рассматривать  в контексте теории относительности  Эйнштейна, фрейдовского психоанализа, кубизма и прочих достижений в  области соотношений пространства, времени и их тождественности.

     Одним из самых выдающихся аспектов творчества Эшера является изображение «метаморфоз», фигурирующих в разных формах во множестве  работ. Художник подробно исследует  постепенность перехода от одной  геометрической фигуры к другой, посредством  незначительных изменений в очертаниях. Кроме того, Эшер неоднократно рисовал  метаморфозы, происходящие с живыми существами (птицы превращаются у  него в рыб и прочее) и даже «одушевлял» в ходе метаморфоз неодушевлённые предметы, превращая их в живые  существа.

     Морис Эшер одним из первых стал изображать в своих мозаичных картинах фракталы. Во время XII Всемирного Математического  Конгресса в Амстердаме в 1954 году была открыта выставка работ Эшера. Математическое описание фракталов было предложено только в 1970-е годы (термин «фрактал» был введён в 1975 году).

     На  множестве картин Эшера происходит демонстрация упорядоченного сечения  плоскости или заполнение её тождественными формами, которые без зазоров, плотно, прилегают друг к другу (навеяно  «мавританским» средневековым стилем). 
 
 
 
 

 

3.Математика  в работах Эшера

 

     Идеи  для своих картин Морис Эшер берет из точных наук и в первую очередь  из математики. Работы Эшера, отталкиваясь от абстрактного понимания мировых закономерностей, будят фантазию, заставляют иначе взглянуть на мир, породить новую абстракцию – которая послужит основой нового мира либо более точного понимания нашего.

 

3.1 Мозаика 

     Регулярное  разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без  пересечений фигур и щелей  между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными (прим. перев. нерегулярные мозаики образуют неповторяющиеся узоры) - а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

     Интересоваться  мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и  впоследствии сказал, что это было для него "богатейшим источником вдохновения". Позже в 1957 году в  своем эссе о мозаиках Эшер написал: 

     В математических работах  регулярное разбиение  плоскости рассматривается  теоретически... Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь  ведущую в другой мир, но сами войти  в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором  стоит дверь, чем  сад, лежащий за ней. 

     Математики  доказали, что для регулярного  разбиения плоскости  подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник.) Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.