ОДУ высшего порядка, сводящегося к системе ОДУ 1-ого порядка ( Эйлера) и кратному интегрированию

                   Министерство образования и науки Российской Федерации

Московский государственный  машиностроительный университет МАМИ

                                  Кафедра «Высшей математики»

 

 

 

                                                                                                                Липчанский А.В.

                  3-ПТК6

 

                ТЕМА РЕФЕРАТА

«ОДУ высшего порядка, сводящегося к системе ОДУ 1-ого порядка ( Эйлера) и кратному интегрированию»

 

 

 

                                                                                            Научный руководитель:

проф. Король Евгений Захарович

 

 

 

 

 

 

Москва 2012

Москва – 2012 год.

Используя подстановку x = exp(t), уравнение Эйлера n-го порядка можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами. Выразим производную функции y через новую переменную t. Это удобно сделать, используя дифференциальный оператор D. В формулах, приведенных ниже, оператор D обозначает первую производную по переменной t:  . Таким образом, мы получаем:

Производная по t произвольного n-го порядка будет описываться выражением

Видно, что после подстановки  производных в исходное уравнение  Эйлера все экспоненциальные множители  будут сокращаться, поскольку

В результате левая часть  будет состоять из производных функции y по переменной t с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения находится стандартными методами. В конце решения необходимо перейти обратно от переменной t к переменной x, подставляя t = ln(x).

 

 

2. Решение  уравнения Эйлера n-го порядка  в виде степенной функции y = x ^k

Рассмотрим другой способ решения уравнения Эйлера. Предположим, что решение имеет вид степенной  функции y = x^k, где показатель k определяется в ходе решения. Производные функции y легко выражаются в следующем виде:

Подставляя это в исходное однородное уравнение Эйлера и сокращая его на  y = x^k ≠ 0, сразу получаем характеристическое уравнение:

которое в более компактном виде можно записать как

Решая характеристическое уравнение, находим его корни и далее  строим общее решение дифференциального  уравнения. В окончательном выражении  необходимо вернуться к исходной переменной x, используя подстановку t = ln(x).

3. Неоднородное  уравнение Эйлера высшего порядка

В общем случае неоднородное уравнение Эйлера представляется в виде

С помощью подстановки x = exp(t) неоднородное уравнение Эйлера можно преобразовать в неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. При этом если правая часть исходного уравнения имеет вид

где P_m − многочлен степени m, то частное решение полученного неоднородного уравнения можно найтиметодом неопределенных коэффициентов.