Шестнадцатеричная система счисления

 

Что такое система счисления? 

  

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?  

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры -- двоичной?  

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?  

Перевод чисел из одной системы счисления в другую 

Сложение в различных системах счисления 

Вычитание в различных системах счисления 

Умножение в различных системах счисления 

Деление в различных системах счисления 

Что такое система счисления? 

  

Система счисления - это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.  

  

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.  

  

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая -- 7 единиц, а третья -- 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения: 

  

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления -- количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.  

  

За основание системы можно принять любое натуральное число -- два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. 

Шестнадцатеричная система счисления (шестнадцатеричные числа) — позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10₁₀ до 15₁₀, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). 

  

1. Применение 

  

Широко используется в низкоуровневом программировании и вообще в компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. Такое использование началось с системы IBM/360, где вся документация использовала шестнадцатеричную систему, в то время как в документации других компьютерных систем того времени (даже с 8-битными символами, как, например, PDP-11 или БЭСМ-6) использовали восьмеричную систему. 

В стандарте Юникода номер символа принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости — с ведущими нулями). 

Шестнадцатеричный цвет — запись трёх компонент цвета (R, G и B) в шестнадцатеричном виде. 

2. Способы записи 

2.1. В математике 

В математике основание системы счисления принято указывать в десятичной системе в нижнем индексе. Например, десятичное число 1443 можно записать как 1443₁₀ или как 5A3₁₆. 

2.2. В языках программирования 

В разных языках программирования для записи шестнадцатеричных чисел используют различный синтаксис: 

·         В Ада и VHDL такие числа указывают так: «16#5A3#». 

·         В Си и языках схожего синтаксиса, например, в Java, используют префикс «0x». Например, «0x5A3». 

·         В некоторых ассемблерах используют букву «h», которую ставят после числа. Например, «5A3h». При этом, если число начинается не с десятичной цифры, то для отличия от имён идентификаторов (например, констант) впереди ставится «0» (ноль): «0FFh» (255₁₀) 

·         Другие ассемблеры (AT&T, Motorola), а также Паскаль и некоторые версии Бейсика используют префикс «$». Например, «$5A3». 

·         Некоторые иные платформы, например ZX Spectrum в своих ассемблерах (MASM, TASM, ALASM, GENS и т. д.) использовали запись #5A3, обычно выровненную до одного или двух байт: #05A3. 

·         Другие версии Бейсика используют для указания шестнадцатеричных цифр сочетание «&h». Например, «&h5A3». 

·         В Unix-подобных операционных системах (и многих языках программирования, имеющих корни в Unix/linux) непечатные символы при выводе/вводе кодируются как 0xCC, где CC — шестнадцатеричный код символа. 

  

3. Перевод чисел из одной системы счисления в другую 

  

3.1. Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в десятичную 

  

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа. 

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число 5A3 в десятичное. В этом числе 3 цифры. В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16: 

5A3₁₆ = 3·16⁰+10·16¹+5·16²

= 3·1+10·16+5·256 = 3+160+1280 = 1443₁₀ 

  

3.2. Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную 

  

Для перевода многозначного двоичного числа в шестнадцатеричную систему нужно разбить его на тетрады справа налево и заменить каждую тетраду соответствующей шестнадцатеричной цифрой. 

Например: 

010110100011₂ = 0101 1010 0011 = 5A3₁₆ 

  

  

  

  

3.3. Таблица перевода чисел