Использование дисперсионного анализа в методических исследованиях

 

Для случайной модели II слагаемое F_i в выражении (1) – величина случайная. Обозначая ее дисперсией  
 
получим из (9)  
                                                                                     (11)  
и, как и в модели I  
M( )= σ².  

 

 

 

 

В таблице №1 представлен общий вид вычисления значений, с помощью дисперсионного анализа.  
Таблица №1 – Базовая таблица дисперсионного анализа

 

 

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний  квадрат	Математическое ожидание среднего квадрата
Межгрупповая		m-1	= Q1/(m-1)
Внутригрупповая		mn-m	= Q2/(mn-m)	M(S )= σ2
Общая		mn-1

 

 

Гипотеза H₀ примет вид σ_F² =0. В случае справедливости этой гипотезы  
M( )= M( )= σ².  
В случае однофакторного комплекса как для модели I, так и модели II средние квадраты S² и S², являются несмещенными и независимыми оценками одной и той же дисперсии σ².  
Следовательно, проверка нулевой гипотезы H₀ свелась к проверке  существенности  различия несмещенных выборочных оценок S₂  и S  дисперсии σ².  
Гипотеза H₀ отвергается, если фактически вычисленное значение статистики

F = S /S  больше критического F_α:K1:K2, определенного на уровне значимости α при числе степеней свободы k₁=m-1 и k₂=mn-m, и принимается, если F < F_α:K1:K2 .  
F- распределение Фишера (для x > 0) имеет следующую функцию плотности (для  = 1, 2, ...; = 1, 2, ...):  
 
где  - степени свободы;  
Г   - гамма-функция.   
Применительно к данной задаче опровержение гипотезы H₀ означает наличие существенных различий в качестве изделий различных партий на рассматриваемом уровне значимости.  
Для вычисления сумм квадратов Q₁, Q₂, Q часто бывает удобно использовать следующие формулы:  
                                                                (12)  
                                                                                (13)  
                                                                                  (14)  
т.е. сами средние, вообще говоря, находить не обязательно.  
  Таким образом, процедура однофакторного дисперсионного анализа состоит в проверке гипотезы H₀ о том, что имеется одна группа однородных экспериментальных данных против альтернативы о том, что таких групп больше, чем одна. Под однородностью понимается одинаковость средних значений и дисперсий в любом подмножестве данных. При этом дисперсии могут быть как известны, так и неизвестны заранее. Если имеются основания полагать, что известная или неизвестная дисперсия измерений одинакова по всей совокупности данных, то задача однофакторного дисперсионного анализа сводится к  исследованию значимости различия средних в группах данных.  

Двухфакторный дисперсионный анализ

 

Принимается аддитивная и независимая  модель действия факторов:

, причем , . (15)

Величины a_j и b_i называются вкладами факторов. Последние два условия всегда можно выполнить масштабированием величин a_j и b_i за счет изменения величины c.

Для каждого наблюдения из рассматриваемой  совокупности справедливо уравнение:

x_ij = c + a_j + b_i + e _ij, i =1, ..., n; j =1, ..., k. (16)

Обычно наблюдения представляют структурной  таблицей статистического комплекса. Приведем простейший двухфакторный комплекс, в которой каждому сочетанию (A_j, B_j) уровней (градаций) факторов, т.е. одной клетке таблицы, соответствует одно наблюдение (в таблице сочетание символов “( )^” обозначает статистическую оценку групповых средних): Разложение результатов измерения при двухфакторном дисперсионном анализе представлены в таблице №2.

 

Таблица №2:

Фактор B	Фактор A  A1 A2 ... Ak	Средние по строкам   (оценки вкладов B)
B1 B2 ... Bn	x11 x12 ... x1k x21 x22 ... x2k ... xn1 xn2 ... xnk	x1· =(c+b1)^ x2· =(c+b2)^ ... xn· =(c+bn)^
Средние по столбцам  (оценки вкладов A)	x· 1= x· 2= x· k=  (c+a1)^ (c+a2)^ (c+ak)^	x· · =c^

 

 

Основное тождество дисперсионного анализа

Оценки c, b_i, a_j могут быть получены с помощью метода наименьших квадратов (МНК) минимизацией суммы (17)

Основываясь на МНК-оценках

, ,

, (18)

введем следующие обозначения:

• для сумм квадратов отклонений под влиянием k уровней фактора А и n уровней фактора В:

, ; (19)

• для остаточной суммы квадратов:

; (20)

• для полной суммы квадратов наблюдений относительно общего среднего :

. (21)

Тогда справедливо следующее соотношение:

, (22)

т.е. полная сумма квадратов отклонений является суммой квадратов вкладов  по факторам и квадратов случайных  отклонений (или остатков ). Другими словами, полное рассеяние есть сумма вариации под влиянием факторов и случайной составляющей.

Проверка нулевых гипотез

По имеющимся наблюдениям требуется  проверить предположение об отсутствии влияния фактора A (или B) на результат измерения, т.е. проверить гипотезы

H_A: a₁ = a₂ = . . . = a_k = 0

H_B: b₁ = b₂ = . . . = b_n = 0 .

Основой процедуры проверки гипотезы является сравнение двух статистически  независимых оценок дисперсии s ².

Одна из них, s ^2* оценивает дисперсию вне зависимости от того, верна или нет гипотеза H_A (или H_В) и основана на сумме квадратов случайных отклонений:

. (23)

Другая, s ^2** оценивает дисперсию, если H_A (или H_В) верна. Для гипотезы H_A эта дисперсия основана на сумме квадратов разностей “между столбцами”, т.е. по уровням фактора A:

. (24)

Если гипотеза H_A верна, то отношение

(25)

имеет F-распределение Фишера с (k -1) и r степенями свободы. Если

F_A ³ F_1-a , (26)

где F_1-a – квантиль этого распределения порядка 1- a , a – выбранный уровень значимости, то гипотеза H_A отклоняется.

Вместо (5.54) можно использовать эквивалентную процедуру: гипотеза H_A отклоняется, если

P{ F ³ F_A } £ a, (27)

где P{ F ³ F_A } – вероятность при справедливости H_A получить значение, большее, чем F_A; F – случайная величина, имеющая распределение Фишера.

Для проверки гипотезы H_В используют сумму квадратов разностей "между строками", то есть по уровням фактора B: . (28)

Аналогичным образом, если отношение  велико, то гипотеза H_B отклоняется.

 

Многофакторный дисперсионный  анализ  

Следует сразу же отметить, что  принципиальной разницы между многофакторным и однофакторным дисперсионным анализом нет. Многофакторный анализ не меняет общую логику дисперсионного анализа, а лишь несколько усложняет ее, поскольку, кроме учета влияния на зависимую переменную каждого из факторов по отдельности, следует оценивать и их совместное действие. Таким образом, то новое, что вносит в анализ данных многофакторный дисперсионный анализ, касается в основном возможности оценить меж-факторное взаимодействие. Тем не менее, по-прежнему остается возможность оценивать влияние каждого фактора в отдельности. В этом смысле процедура многофакторного дисперсионного анализа (в варианте ее компьютерного использования) несомненно более экономична, поскольку всего за один запуск решает сразу две задачи: оценивается влияние каждого из факторов и их взаимодействие.  
Общая схема двухфакторного эксперимента, данные которого обрабатываются дисперсионным анализом имеет вид:  

Зависимая переменная xi

Взаимодействие факторов A и B

Прочие не учитываемые (случайные) факторы

Фактор B:   3 уровня

Фактор А:   2 уровня

 

   
Рисунок 1.1 – Схема двухфакторного эксперимента  
Данные, подвергаемые многофакторному дисперсионному анализу, часто обозначают в соответствии с количеством факторов и их уровней.  
Предположив, что в рассматриваемой задаче о качестве различных m партий изделия изготавливались на разных t станках и требуется выяснить, имеются  ли существенные различия в качестве изделий по  каждому фактору:  
А - партия изделий;  
B - станок.  
В результате получается переход к задаче двухфакторного дисперсионного анализа.  
Все данные представлены в таблице №3, в которой по строкам - уровни A_i фактора А, по столбцам — уровни B_j фактора В, а в соответствующих ячейках, таблицы находятся значения показателя качества изделий x_ijk (i=1,2,...,m; j=1,2,...,l; k=1,2,...,n).  
Таблица №3 – Показатели качества изделий

	B1	B2	…	Bj	…	Bl
A1	x11l,…,x11k	x12l,…,x12k	…	x1jl,…,x1jk	…	x1ll,…,x1lk
A2	x21l,…,x21k	x22l,…,x22k	…	x2jl,…,x2jk	…	x2ll,…,x2lk
…	…	…	…	…	…	…
Ai	xi1l,…,xi1k	xi2l,…,xi2k	…	xijl,…,xijk	…	xjll,…,xjlk
…	…	…	…	…	…	…
Am	xm1l,…,xm1k	xm2l,…,xm2k	…	xmjl,…,xmjk	…	xmll,…,xmlk

Двухфакторная дисперсионная модель имеет вид:  
                                               x_ijk=μ+F_i+G_j+I_ij+ε_ijk,                                   (29)  
где  x_ijk -  значение наблюдения в ячейке ij с номером k;  
μ   -  общая средняя;  
F_i    -  эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора А;  
G_j  -  эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора В;  
I_ij - эффект, обусловленный взаимодействием двух факторов, т.е. отклонение от средней по наблюдениям в ячейке ij от суммы первых трех слагаемых в модели (29);  
ε_ijk - возмущение, обусловленное вариацией переменной внутри отдельной ячейки.  
Предполагается, что ε_ijk  имеет нормальный закон распределения N(0; с²), а все математические ожидания F_*, G_*,  I_i*, I_*j равны нулю.  

 

 

 

Групповые средние находятся по формулам:  
- в ячейке:  
,  
по строке:  
 
по столбцу:  
 
общая средняя:  
 
В таблице №4 представлен общий вид вычисления значений, с помощью дисперсионного анализа.  
Таблица №4 – Базовая таблица дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты
Межгрупповая (фактор А)		m-1
Межгрупповая (фактор B)		l-1
Взаимодействие		(m-1)(l-1)
Остаточная		mln - ml
Общая		mln - 1

Проверка нулевых гипотез H_A, H_B, H_AB об отсутствии влияния на рассматриваемую переменную факторов А, B и их взаимодействия AB осуществляется сравнением отношений

, ,  (для модели I с фиксированными уровнями факторов) или отношений ,  ,  (для случайной модели II) с соответствующими табличными значениями F – критерия Фишера – Снедекора. Для смешанной модели III проверка гипотез относительно факторов с фиксированными уровнями производится также как и в модели II, а факторов со случайными уровнями – как в модели I.  
Если n=1, т.е. при одном наблюдении в ячейке, то не все нулевые гипотезы могут быть проверены так как выпадает компонента Q₃ из общей суммы квадратов отклонений, а с ней и средний квадрат , так как в этом случае не может быть речи о взаимодействии факторов.  
С точки зрения техники вычислений для нахождения сумм квадратов Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q целесообразнее использовать формулы:  
 
 
 
 
Q₃ = Q – Q₁ – Q₂ – Q₄.  
Отклонение от основных предпосылок дисперсионного анализа — нормальности распределения исследуемой переменной и равенства дисперсий в ячейках (если оно не чрезмерное) — не сказывается существенно на результатах дисперсионного анализа при равном числе наблюдений в ячейках, но может быть очень чувствительно при неравном их числе. Кроме того, при неравном числе наблюдений в ячейках резко возрастает сложность аппарата дисперсионного анализа. Поэтому рекомендуется планировать схему с равным числом наблюдений в ячейках, а если встречаются недостающие данные, то возмещать их средними значениями других наблюдений в ячейках. При этом, однако, искусственно введенные недостающие данные не следует учитывать при подсчете числа степеней свободы.  
 
Задача для курсовой работы