Моделирование процессов и объектов

выполняется, то нулевая гипотеза принимается. При  несоблюдении условия (1.17) принимается  альтернативная гипотеза Н₁: ¹ 0. В случае принятия нуль-гипотезы незначимый коэффициент исключается из уравнения регрессии, а величины оставшихся коэффициентов находят заново, так как между ними существует корреляционная зависимость (1.8).

  Средние квадратичные ошибки коэффициентов линейной регрессии для проверки условия (1.17) находят по формулам

        (1.18)

        (1.19)

где S_oст – корень квадратный из остаточной дисперсии или дисперсии у_i относительно линии регрессии.

  Остаточную  дисперсию вычисляют по формуле

        (1.20)

где – величины, вычисленные по уравнению регрессии; l – число учитываемых признаков в уравнении регрессии (для линейной регрессии       l = 2); f = п – l – число степеней свободы. Если коэффициент корреляции r уже вычислен, то при выполнении практических расчетов удобно использовать связь между линейной корреляцией и линейной регрессией. В этом случае для нахождения остаточной дисперсии можно использовать формулу

        (1.21)

  Другим  важным элементом регрессионного анализа  является проверка адекватности уравнения регрессии по критерию Фишера. В этом случае проверяется нуль-гипотеза H₀ : s² = , т.е. предполагается, что генеральные дисперсии адекватности и воспроизводимости равны. Поскольку проверка осуществляется путем сравнения выборочных дисперсий, то нуль-гипотеза принимается при выполнении условия

        (1.22)

где – выборочная дисперсия адекватности; – выборочная дисперсия воспроизводимости; f₁ = f_ад – число степеней свободы ;       f₂ = f_воспр – число степеней свободы .

  При повторении (дублировании) каждого  из n опытов m раз дисперсия адекватности и воспроизводимости вычисляют по формулам

        (1.23)

        (1.24)

где n – объем выборки; m – число дублирующих опытов; l – число коэффициентов в уравнении регрессии; – значения, вычисленные по уравнению регрессии для x_i, n – l = f₁;  n(m – 1) = f₂.

  В случае невозможности проведения дублирующих  опытов и определения дисперсии  воспроизводимости вместо соотношения (1.22) для оценки адекватности уравнения регрессии используют «обратное» отношение дисперсий:

  

        (1.25)

где f₁ = n – 1; f₂ = n – l.

  В выражении (1.25) находят по формулам (1.20)–(1.21), а дисперсию относительного среднего – по формуле (1.13). Считают, что эффективность уравнения регрессии тем выше, чем больше F превышает . 
 
 
 

2. МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

  Представления, изложенные в предыдущих разделах этой главы, можно распространить и на случай, когда исследуют линейную связь между многими признаками или параметрами объекта исследования. В общем случае зависимость между k + 1 переменными можно представить в форме выборочного уравнения множественной регрессии:

        (2.1)

  При k = 1 уравнение описывает линию регрессии, при k = 2 – плоскость, а при k > 2 – гиперплоскость. Реализация метода регрессионно-корреляционного анализа при k > 2 требует выполнения весьма трудоемких в «ручном» варианте вычислительных работ. Тем не менее многие практические задачи, связанные с регрессионно-корреляционным анализом зависимости 5–6 переменных (k = 4–5), могут быть успешно решены с применением широко используемых программируемых микрокалькуляторов.

  Для реализации метода множественного регрессионно-корреляционного  анализа при k > 2 удобно перейти от натурального масштаба признаков к безразмерному. Такой переход осуществляется нормированием всех значений случайных величин по формулам вида

          (2.2)

      i = 1, 2, 3, …, n;    j = 1, 2, 3, …, k,

где Y_i, X_ji – нормированные значения соответствующих переменных (или признаков) y и x_j; и – средние значения признаков; S_y и – средние квадратичные отклонения признаков.

  В новом масштабе

       ;  ;  ;  S_y = 1. (2.3)

  В новых переменных уравнение регрессии  не имеет свободного члена и принимает  вид:

        (2.4)

  Коэффициенты  уравнения регрессии нормированных  величин находят путем решения  системы k линейных уравнений, полученных на основе метода наименьших квадратов:

          (2.5)

где и – выборочные (простые) коэффициенты корреляции для нормированных величин, определяемые по формулам:

          (2.6)

l, m = 1, 2, 3, …, k.

  Вычисленные по формулам (2.6) коэффициенты парной корреляции равны соответствующим коэффициентам в натуральном масштабе, т.е. , . Кроме этого, очевидно, что .

  В результате системы уравнений (2.5) получаем коэффициенты зависимости (2.4). Коэффициент  корреляции R, характеризующий силу связи при множественной корреляции, определяют с использованием простых коэффициентов корреляции и коэффициентов уравнения регрессии (2.6) по формуле

        (2.7)

  Проверку  гипотезы H₀: R* = 0, т.е. значимости множественного коэффициента корреляции, можно осуществить по критерию Фишера:

        (2.8)

где l – число признаков, учитываемых в анализе (в данном случае l = k + 1); f₁ = l – 1; f₂ = n – l. Если условие (2.8) не выполняется, то нуль-гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза о значимом отличии R от нуля и наличии зависимости между анализируемыми факторами. Значения F-критерия принимаются по данным Приложений 5 и 6.

  Переход от уравнения (2.6) к уравнению регрессии  в натуральном масштабе выполняется  по формулам

            j = 1, 2, …, k. (2.9)

  Проверка  адекватности уравнения регрессии аналогична изложенной в п.1 (условие (1.25)). 
 
 
 

3. ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ  ЭКСПЕРИМЕНТ (ПФЭ) 

3.1. Введение в ПФЭ 

  Как правило, при построении экспериментально-статистических моделей методом множественной  корреляции используют результаты наблюдения за объектом, полученных на основе имеющихся средств измерения входных и выходных факторов. В случае изучения объекта типа «черного ящика» методом полного факторного эксперимента построение экспериментально-статистической модели осуществляют на основе результатов экспериментов, которые проводятся по заранее определенному плану с привлечением дополнительных средств измерения. Такой эксперимент называют активным.

  Активный  эксперимент по сравнению с пассивным  характеризуется более высокой  трудоемкостью и необходимостью привлечения соответствующих материальных и энергетических ресурсов. Однако постановка активного эксперимента обеспечивает достижение следующих преимуществ в экспериментальных исследованиях:

  а) активный эксперимент позволяет  продублировать опыты, что необходимо для всестороннего статистического анализа их результатов, выявления грубых ошибок и их компенсации;

  б) за счет надлежащей организации активного  эксперимента в него можно вовлечь  меньшее число факторов, следовательно, искомая математическая модель объекта исследования получается более компактной;

  в) в процессе активного эксперимента можно выбрать достаточно широкие  интервалы варьирования факторов, в  результате чего повысить точность определения  коэффициентов математической модели.

  Особое  значение имеет специальная (оптимальная) организация активного эксперимента.

  Значение  входного фактора, задаваемое в активном эксперименте называют обычно уровнем  варьирования входного фактора. При  варьировании k факторов на двух уровнях выбираемых по различным сторонам от значения x_i = 0, модель объекта получают в виде:

              . (3.1)

  В уравнении (3.1) члены, содержащие один фактор отражают линейные эффекты воздействия  факторов. Члены, содержащие два фактора, отражают эффекты их двойного взаимодействия или двойные эффекты и т.д. Общее число членов уравнения (3.1) составляет 2^k, включая свободный член.

  Для оценки коэффициентов уравнения (3.1) также обрабатывают опытные данные по объекту, используя метод наименьших квадратов (МНК). Представим уравнение (3.1) в виде:

              , (3.2)

       где . Учитывая, что количество неизвестных коэффициентов составляет 2^k, то минимальное количество опытов для их определения будет N = 2^k.

       

  Варьируя  k факторов на двух уровнях варьирования, получим N = 2^k неповторяющих комбинаций значений факторов или N опытов. Подставляя в N комбинаций значений факторов уравнении (3.2), получим в матричной форме соотношение:

               (3.3)

       в котором

        (3.4)

является  матрица-столбец расчетных (модельных) значений выхода;

        (3.5)

структурная матрица факторов;

        (3.6)

матрица-столбец  искомых коэффициентов.

  Если  оцениваются все из возможных  коэффициентов, матрица (3.5) имеет размер N(m + 1). В ее составе подматрица

        (3.7)

является  матрицей плана эксперимента, поскольку  в качестве своих элементов содержит значения факторов х₁, …, х_k в отдельных опытах     1, …, N.

  В выражениях (3.4)-(3.7) k – число факторов, m – (k + 1) – число нелинейных членов уравнения (3.2), х₀ = 1 – фиктивная переменная (первый столбец элементов матрицы (3.5), m + 1 = N – максимальное число оцениваемых коэффициентов; N = m +1 -  число опытов.

  Матрица экспериментальных значений выхода имеет вид:

        (3.8)

  Если  каждый опыт повторяли П раз, то элементы матрицы (3.6) представляют собой средние  арифметические результаты параллельных опытов и  .

  Напомним, что на основании принципов МНК наиболее вероятные оценки b-коэффициентов находятся из условия минимизации остаточной суммы квадратов:

       ,  (3.9)

где символ «т» здесь и ниже обозначает транспонирование матрицы.

Продолжая процедуру МНК, получим:

       , (3.10)

где – дисперсионная матрица.

  Если  уровни варьирования факторов выбраны  произвольно, то определение матрицы [D] представляет большие трудности. Предельное упрощение процедуры вычислений матрицы [B] достигается ортогонализацией плана экспериментов, что практически осуществляется варьированием факторов на равностоящих от центра плана уровнях.

  

  Если  ввести дополнительное условие, согласно которому в отдельных опытах придавать элементам подматрицы плана (3.7) значения х_ij = +1 или     х_ij = –1, то формула (3.10) сводится к более простому выражению, согласно которому любой из искомых b-коэффициентов