Моделирование процессов и объектов

  1. Определение коэффициента корреляции.

  Выполним  предварительные расчеты: 

  Результаты расчета

Находим средние значения величин х и у

         

дисперсии x и  y

        S_x = 2,485;

        S_y = 11,319. 

и коэффициента корреляции

       

2. Оценка  значимости r.

  Проверим  статистическую значимость коэффициента корреляции, формулируя нуль-гипотезу Н₀: r^* = 0, r^* – генеральный коэффициент корреляции. Находим экспериментальное значение критерия Стьюдента:

     

    При уровне значимости a = 0,05 и f = n – 2 = 10 – 2 = 8 найдем теоретическое значение критерия Стьюдента: t_0,05 = 2,31. Так как t_r > t_0,05, то гипотеза Н₀ должна быть отвергнута, т.к. условие не выполняется. Выборка из 10 пар наблюдений взята из генеральной совокупности с коэффициентом корреляции r^* ¹ 0. Следовательно, случайные величины x и y связаны линейной зависимостью. 
 

3. Определение  коэффициентов регрессии

  По  формулам (1.8) и (1.9) найдем:

  Итак, получили математическую модель

      которую можно использовать только  при

 где x_min = 0,34; x_max = 8,26. 

  4. Проверка значимости коэффициентов  модели

Проверим  статистическую значимость коэффициента регрессии b₁, т.е. гипотезу Н₀: Для     этого вычислим по формуле (1.21) остаточную дисперсию:

          При b₁ = 4,522; и находим

Для a = 0,05 и f = n – 2 = 10 – 2 = 8 (прил. 1)  t_0,05 = 2,31. Так как > t_0,05, то нуль-гипотеза отвергается и считаем, что b₁ значимо отличается от 0.

Проверим  нуль-гипотезу Н₀: (о равенстве нулю константы b₀ в полученном уравнении рег      рессии). При n = 10, и b₀ = 7,257 находим: 

    

          Поскольку 

> t_0,05 = 2,31, то нулевая гипотеза отвергается и считаем, что b₀ значимо отличается от нуля. 

  5. Проверка адекватности модели  объекту

Проверим  адекватность полученного уравнения  линейной регрессии по условию  . Используем ранее вычисленные значения и . Находим расчетное значение критерия Фишера:

По  табл. 2 приложения для a = 0,05;  f₁ = n – 1 = 10 – 1 = 9  и теоретическое значение критерия Фишера

F_1–0,05 (9, 8) = 3,44.

Так как F > F_1–0,05 (f₁, f₂), то при уровне значимости a = 0,05 можно считать, что уравнение регрессии удовлетворительно аппроксимирует характер взаимодействия факторов х и у или, другими словами, модель адекватна объекту.

  6. Построение поля корреляции полученной  и истинной модели объекта

   Поле корреляции в виде множества исходных пар точек Там же построены уравнения и

    Рис. 1.2. Поле корреляции (´´),  – экспериментально-статистическая 

   

   модель  ( ) - истинная  модель  (у)  

Выводы 

1.  Построена экспериментально-статистическая модель ,   0,34 £ х £8,26 и истинная модель y = 6 + 5x. Коэффициенты модели значимы при уровне значимости a = 0,05.

2.  Оценена  сила связи линейной зависимости  r = 0,993. Коэффициент r значим при уровне значимости a = 0,05.

3.  Модель  адекватна объекту при уровне  значимости a = 0,05. 
 
 
 

Задача  № 2

Исходные  данные об объекте: 

 номер  объекта – 1;

 количество  факторов – 3;

 количество  выходов – 1;

 интервал  изменения входов: x₁ Î [a₁, b₁] = [0, 10];  x₂ Î [a₂, b₂] = [0, 10]; x₃ Î [a₃, b₃] = [0, 10];

 погрешность  выхода – 0,05;

 количество  наблюдений – 10.

 истинная  модель объекта –. y = 6 + 5x₁ + 7x₂ + 8x₃. 
 
 

Результаты  наблюдений 

 
 
 
 
 

  1. Определение коэффициентов уравнения регрессии.

Общее уравнение ищем для k = 3 в виде:

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃.

  Результаты  предварительной обработки исходных статистических данных и вычисления и , S_y и по формулам

 

приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Исходные  и расчетные данные