Моделирование процессов и объектов

  

  

  Вычисляем построчные средние значения выхода по формуле:

        

  и запишем в табл. 3.2 (столбец 16).

  вычисляем построчные дисперсии по формуле:

        

  2. Проверка однородности дисперсий.

   Однородность  дисперсий является свидетельством равноточности измерений выхода объекта. При этом на точность измерения оказывают влияние как метрологические характеристики применяемых измерительных средств, так и возмущения, воздействующие на объект.

   Проверка  осуществляется путем подсчета экспериментального (G_э) и теоретического (G_т) значений критерия Кохрена и их сравнения. Если условие G_э < G_т  выполняется, то дисперсии однородны. Заметим, что в противном случае регрессионный анализ результатов факторного эксперимента становится невозможным и требуется повторить опыты заново, более тщательно и, если возможно, с применением более точных средств измерения.

     Для подсчета G_э определим максимальную дисперсию:

        

     сумму построчных дисперсий:

               

     и наконец:

       . 

     Теоретическое значение критерия определяем по табл. 4 приложения при a = 0,05; N = 8

G_т = 0,516.

     Т.к. G_э < G_т, дисперсии однородны. 

  

3. Определение коэффициентов модели в кодированных переменных.

  Коэффициенты находим по формуле

        

и записываем модель:

           

4. Проверка  значимости коэффициентов модели в  кодированных переменных и переход  к модели в размерных переменных

  Для оценки значимости коэффициентов подсчитаем среднее значение дисперсии воспроизводимости выхода по формуле:

       ; 

дисперсию коэффициента b_i по формуле:

        

границы доверительного интервала коэффициентов  модели:

       ; 

где t_т – теоретическое значение критерия Стьюдента находится по табл. 1 прил. при a = 0,05 и числе степеней свободы f = N (П – 1) = 8(3 – 1) = 16.

  Рабочим правилом является следующее: если значение коэффициента выходит за границы доверительного интервала, то коэффициент значим. В рассматриваемом примере коэффициенты b₀, b₁, b₂, b₃, оказались больше 2,982. Следовательно, они статистически значимы. Остальные коэффициенты (а вместе с ними и эффекты взаимодействия первого порядка X₁X₂, X₁X₃, X₂X₃ и второго порядка X₁X₂X₃) незначимы. После отбрасывания незначащих членов уравнение модели объекта сводится к линейному, 10⁴ Па:

       = 105,156+ 14,711X₁ +20,846X₂ + 23,102X₃. 

Это уравнение  позволяет рассчитать модельные  значения выхода для соответствующих комбинаций факторов. Путем подстановки в уравнение кодированных значений факторов согласно = ( – х_oi) / Dх_i = ± 1 , = ( – х_oi) / Dх_i = –1и последующих алгебраических преобразований модель объекта может быть представлена в натуральных значениях факторов:

  Подставляя  в уравнение  = 105,156 + 14,711X₁ +20,846X₂ + 23,102X₃ формулы X_i = (x_i – х_oi) / Dх_i для кодирования факторов при данных х_0i и Dх_i:

получим

      

5. Проверка  адекватности модели.

  Под адекватностью модели подразумевается  ее соответствие реальному объекту исследования в пределах принятых статистических оценок. Если обозначить буквой М количество значимых коэффициентов модели, то возможны две ситуации: M = N и M < N.

  Если  все М = N коэффициентов модели оказались значимыми, то поверхность отклика, описываемая уравнением или его частной формой , проходит через все точки опытов со значениями у_uq.

  При М = L < N (как в данном примере), когда отдельные b-коэффициенты незначимы, некоторые из опытных точек лежат вне поверхности отклика, что является одной из предпосылок неадекватности модели. Однако окончательное суждение об адекватности или неадекватности модели относительно и зависит от принятого критерия такой оценки. Обычно адекватность модели проверяют по критерию Фишера, характеризующему соотношение между степенью рассеивания результатов опытов у_uq, относительно построчных средних и степенью рассеивания построчных средних относительно модельных значений выхода .

  Экспериментальное значение критерия Фишера определяем по формуле

                                    F_э = D_ад / D_у

      в которой D_aд – оценка дисперсии адекватности, в свою очередь определяемая как

        

где L – число членов уравнения модели, оставшихся после оценки значимости, включая свободный член; - значение выхода в u-й строке матрицы, "предсказанное" моделью.

 Имеем Д_ад = 4,721 и F_э = 4,721/21,422 = 0,967.

 Полученное  значение критерия Фишера сравниваем с табличным F_т, которое для доверительной вероятности b = 0,95, чисел степеней свободы f₁ = N – L и f₂ = N(П – 1) приведено в табл. 2 приложения.

 Имеем N – L = 8 – 4 = 4; N(П - 1) = 8·(3 – 1) = 16; следовательно F_т = 3,01. Поскольку это удовлетворяет условию F_э < F_т, то с доверительной вероятностью b = 0,95 модель можно считать адекватной.

6. Выводы:
1. Построена экспериментально статистическая модель:

2. Модель адекватна объекту с уровнем значимости 0,05.