Моделирование процессов и объектов

 

  Результаты  перехода к значениям нормированных переменных по формулам

 

приводим  в виде таблицы. 

Значения  нормированных факторов

 

  Определим выборочные коэффициенты парной корреляции по формулам:

 

                                          таблица 4

Выборочные  коэффициенты парной корреляции

 

  Для определения коэффициентов регрессии  для k = 3: 

Y = a₁X₁ + a₂X₂ + a₃X₃. 

  Решим систему линейных уравнений  для  k = 3, составленную с учетом табл. 4 и имеющую вид: 

Система уравнений может быть решена любым  способом. Здесь решим систему методом Крамера. Для этого подсчитаем определители:

  

 

 

и получим  решение:

Проверим правильность решения системы уравнений подстановкой полученных значений в систему уравнений. В результате получим близость левой и правой частей:

                                     0,161 = 0,165

                                    0,815 = 0,838

                                      0,647 = 0,666

Запишем регрессии в безразмерном виде: . Переходим к натуральному масштабу:

  В натуральном масштабе модель имеет  вид:

. 

  2. Проверка адекватности модели.

Проверим  адекватность полученного уравнения по критерию Фишера Значение S_y берем из табл. и находим с числом степеней свободы . Для определения с числом степеней свободы вычислим значения по уравнению регрессии в натуральном масштабе и найдем квадраты разностей (табл. 2.2).

Используя  сумму квадратов этих разностей, по формуле (1.20) находим 

По  формуле (1.25) находим

.

Теоретическое значение критерия определим по таблице  в зависимости от a = 0,05; f₁ = n – 1 = 10 – 1 = 9; f₂ = n – l = 10 – 4 = 6;    F(a, f₁, f₂) = 0,15. Так как F > F_1-0,05, то модель обеспечивает необходимое качество аппроксимации при a = 0,05. 

  3. Определение коэффициента множественной  корреляции и оценка его значимости. Находим коэффициент корреляции:

.

  Проверку  значимости коэффициента множественной  корреляции на основе нуль-гипотезы Н_о : R* = 0 выполняем по соотношению:

  Теоретическое значение критерия определим по таблице  в зависимости от a = 0,05; f₁ = l – 1 = 4 – 1 = 3; f₂ = n – l = 10 – 4 = 6; F_т = F(a, f₁, f₂) = 8,7.

  Так как F_R < F_т, то нулевую гипотезу отвергаем и принимаем альтернативную. Итак, коэффициент корреляции значим. 
 

  4. Выводы:

1. Построена экспериментально-статическая модель:

,

где 0,81 6,12; 0,13 8,77; 1,88 9,02.

Истинная  модель:

.

2. Модель адекватна объекту с уровнем значимости 0,05.
3. Коэффициент множественной корреляции R = 1,002. Линейность связи значима. Достаточно высокое значение коэффициента корреляции и адекватность модели объекту позволяет использовать модель для прогнозирования выхода объекта и оптимизировать значения входных параметров для достижения требуемого значения выхода.

 

Задача  № 3 

Исходные  данные об объекте  :

• номер объекта – 1;
• количество выходов – 3;
• погрешность выхода – 0,05;
• границы изменения факторов – x₁ Î [a₁, b₁] = [0, 10]; x₂ Î [a₂, b₂] = [0, 10]; x₃ Î [a₃, b₃] = [0, 10].

 

Данные  о плане экспериментов (задаются преподавателем):

• план типа 2³;
• количество уровней варьирования – 2;
• основной уровень – 5;
• интервал варьирования для всех факторов – 3;
• количество параллельных экспериментов – 3;
• уровень значимости – 0,05.
• истинная модель объекта -

 

Пример  обработки данных по результатам ПФЭ