Текстовые задачи в школьном курсе математике

    Числовые  значения величин и существующие между ними зависимости, т. е. количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними, называют условием задачи. В задаче обычно не одно, а несколько условий, которые называют элементарными.

    Требования  могут быть сформулированы как в  вопросительной, так и в повествовательной  форме, их так же может быть несколько. Величину, значения которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин - искомыми, или неизвестными.

    Ответ на требование задачи получается в  результате ее решения. Решить задачу в широком смысле этого слова – это значит раскрыть связи между данными, заданными условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т. д.), выполнить действия над данными задачи, используя общие положения и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его выполнения. Термин «решение задачи» широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные между собой, но все же неодинаковые понятия:

• решением задачи называют результат, т. е. ответ на требование задачи;
• решением задачи называют процесс нахождения этого результата, т. е. вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до окончания решения;
• решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.

    В каждой текстовой задаче числовой материал должен соответствовать арифметической подготовке учащихся, числовые значения величин данных и искомых должны быть реальными (нельзя, например, указать в условии скорость пешехода 20 км в час или расстояние между Москвой и Ленинградом равным какому - либо числу, кроме 651 км). Условие и вопрос задачи должны быть сформулированы ясно и точно, в соответствии с числовыми данными в условии. 
 

1.3  Классификация задач

    В зависимости от целей классификации  выбирают основание для ее проведения и на его основе получают те или иные группы текстовых задач, которые объединяет либо метод решения, либо количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, либо схожий сюжет. В зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать:

• по числу действий, которые необходимо выполнить для решения задачи;
• по соответствию числа данных и искомых;
• по способам решения и др.

    Положив в основание классификации число  действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, выделяют простые и составные задачи. Задачу, для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие, называют простой.

    Пример. Саше 7 лет, он на 3 года старше Тани. Сколько лет Тане?

    Задачу, для которой нужно выполнить  два или большее число действий, называют составной.

    Пример. Будем считать, что айсберг представляет собой прямоугольный параллелепипед. Известно, что его высота над водой равна 36 м, что составляет 1/6 части всей его высоты. Ширина айсберга в 125 раз больше его высоты, но в 3 раза меньше его длины. Определите объем айсберга.

    Решая простую задачу, учащиеся учатся понимать зависимость между величинами и  применять то или иное арифметическое действие.

    Выбор действия - центральный и вместе с тем самый трудный вопрос при решении простых задач. При  решении простой задачи учащиеся, усвоив содержание условия, должны разобраться, в какой зависимости находится  искомое и данные числа, и отсюда сделать вывод действия для решения  задачи.

    Решение составной задачи сводится к разложению ее на простые задачи и к решению  этих простых задач.

    Поэтому к решению составных задач  можно приступить только тогда, когда  учащиеся усвоили решение простых  задач и когда они имеют  достаточные вычислительные навыки.

    Чтобы учащиеся при решении составной  задачи, в которой несколько данных и несколько искомых, не затруднялись в составлении простых задач, на которые разбивается составная  задача, полезно проделать упражнения на составление сложной задачи из 2-х или 3-х простых. Для этого  учащимся задаются одна за другой две простые задачи, причем ответ первой задачи служит одним из данных для второй задачи.

    Потом обе задачи читаются без промежуточного вопроса.

    Решением  сложной задачи состоит из следующих  частей:

• усвоение учащимися содержания задачи;
• разбор задачи и составление плана (разложение сложной задачи на простые и составные и составление плана решения);
• решение (выбор действия, их выполнение, запись хода решения и вычислений);
• проверка решения.

    Число условий должно соответствовать  числу данных и искомых. Тогда  задача имеет одно решение и является задачей определенной.

    Пример. Два переплетчика должны переплести 384 книги. Один из них переплетает по пять книг в день и уже переплел 160 книг. Сколько книг в день должен переплетать другой переплетчик, чтобы закончить работу в один день с первым?

    Если  число условий в задаче недостаточно, то задача может иметь несколько решений и называется задачей неопределенной.

    Пример. На складе было 392 банки вишневого, малинового и клубничного варенья. Банок с вишневым вареньем было в 3 раза больше, чем малинового. Какова масса вишневое варенье, если в каждой банке его 800 г?

    Задачи  с альтернативным условием - это задачи, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы.

    Пример. От одной пристани по реке одновременно отправляются два катера. Один движется со скоростью 17 км/ч, а второй - со скоростью 19 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 2 ч, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

    Переопределенные  задачи - задачи, имеющие условие, которые не использующие при их решении выбранным способам. Такие условия называют лишними. Следует иметь в виду, что при решении задачи другим способом лишними могут оказаться уже другие условия. Если в переопределенной задаче лишние условия не противоречат остальным условиям, то она имеет решение.

    Пример. В одной печи можно обжечь 39 ООО кирпичей за шесть дней, а в другой столько же кирпичей можно обжечь за пять дней. За сколько дней можно обжечь 143 ООО кирпичей, используя обе печи одновременно, если в первой печи за один день обжигают на 1300 кирпичей меньше, чем во второй.

    Задачи  можно разделить на стандартные и нестандартные. Нестандартная задача – это задача, решение которой не является для решающего известной целью известных действий. Для ее решения учащийся сам должен изобрести способ решения.

    Наиболее  часто используемым является метод восходящего анализа - решение задачи с конца, от требования – к условию.

    Множество задач, в которых имеется одинаковая зависимость между величинами, образуют определенный вид задач. Задачи одного вида имеют одну и ту же алгебраическую модель. Положив в основание классификации способы решения задач, можно выделить такие группы задач:

1. задачи на тройное правило;
2. задачи на нахождение неизвестных по результатам действий;
3. задачи на пропорциональное деление;
4. задачи на исключение одного из неизвестных;
5. задачи на среднее арифметическое;
6. задачи на проценты и части;
7. задачи, решаемые с конца, или «обратным ходом».

    Разбор  задачи можно сделать двумя приемами.

    Первый  прием называется синтетическим. Он состоит в следующем. Из условия задачи учащиеся выбирают одну пару числовых данных (иногда больше), к ним подбирается вопрос, т. е. составляется простая задача. Число, полученное при решении этой простой задачи, вместе с одним из данных в условии составной задачи или другая пара чисел из условия задачи берутся для составления второй простой задачи и т. д. в последней простой задаче ставится вопрос составной задачи. Ответ на него явится ответом задачи.

    Второй  прием разбора задач называется аналитическим. Разбор начинается с главного вопроса задачи, к нему подбираются данные из условия задачи, если в условии нет данных для решения этого вопроса, ставятся новые вопросы для их определения. Так поступают и дальше до тех пор, пока дойдут до вопроса, для которого есть данные в условии.

    Анализ  и синтез связаны между собой. Подбирая к числовым данным вопрос (синтез), мы выбираем те данные, которые  должны привести е решению задачи (анализ); поставив вопрос задачи (анализ), мы берем те данные, которые есть в условии задачи (синтез). 

4.   Методы решения задач

    Большое значение при обучении математике имеет  формирование общего приема решения задач. Но анализ практики показывает, что основное внимание уделяется ознакомлению со специальными способами решения отдельных типов задач. Это часто приводит к тому, что учащиеся не приобретают умения самостоятельно анализировать и решать различные типы задач. Поэтому проблема овладения общим приемом решения задач продолжает оставаться актуальной и должна разрабатываться в методике обучения математике.

    Общий прием решения задач включает: знание этапов решения, методов (способов) решения, типов задач, обоснование  выбора способа решения на основании  анализа текста задачи, а также  владение предметными знаниями: понятиями, определениями терминов, правилами, формулами, логическими приемами и  операциями.

    К этапам решения можно отнести:

1. анализ текста задачи;
2. перевод текста на язык математики;
3. установление отношений между данными и вопросом;
4. составление плана решения задачи;
5. осуществление плана решения;
6. проверка и оценка решения задачи.

    Анализ  текста задачи.

    Работа  над текстом задачи включает семантический, логический и математический анализ.

    1. Семантический анализ направлен на обеспечение понимания содержания текста и предполагает:

• выделение и осмысление:
• отдельных слов, терминов, понятий, как житейских, так и математических,
• грамматических конструкций ("если…то", "после того, как…" и т.д.),
• количественных характеристик объекта, задаваемых словами "каждого", "какого-нибудь", "любое", "некоторое", "всего", "все", "почти все", "одинаковые", "столько же", "поровну" и т.д.;
• восстановление предметной ситуации, описанной в задаче, путем упрощенного пересказа текста с выделением только существенной для решения задач информации;
• выделение обобщенного смысла задачи - о чем говорится в задаче, указание на объект и величину, которая должна быть найдена (стоимость, объем, площадь, количество и т.д.)

    2. Логический анализ предполагает:

• умение заменять термины их определениями;
• выводить следствия из имеющихся в условии задачи данных (понятия, процессы, явления).

    3. Математический анализ включает анализ условия и требования задачи.

    Анализ  условия направлен на выделение:

    а) объектов (предметов, процессов);

    б) величин, характеризующих каждый объект;

    в) характеристик величин (числовые значения, известные и неизвестные данные, отношения между известными данными  величин).

    Анализ  требования направлен на выделение: неизвестных количественных характеристик величин объектов или объекта.