Вторым условием закономерного проявления корреляционной связи служит условие,
обеспечивающее надежное выражение закономерности в средней величине. Кроме уже
указанного большого числа единиц совокупности для этого необходима достаточная
качественная однородность совокупности. Нарушение этого условия может извратить
параметры корреляции. Например, в массе зерновых хозяйств уровень продукции с гектара
растет по мере концентрации площадей, т.е. он выше в крупных хозяйствах. В массе овощных и
овоще -молочных хозяйств (пригородный тип) наблюдается та же прямая связь уровня
продукции с размером хозяйства. Но если соединить в общую неоднородную совокупность те и
другие хозяйства, то связь уровня продукции с размером площади пашни (или посевной
площади) получится обратной. Причина в том, что овощные и овоще
-молочные хозяйства, имея меньшую площадь, чем зерновые, производят больше продукции с гектара ввиду большей
интенсивности производства в данных отраслях, чем в производстве зерна.
Иногда как условие корреляционного анализа выдвигают необходимость подчинения
распределения совокупности по результативному и факторным признакам нормальному закону
распределения вероятностей. Это условие связано с применением метода наименьших
квадратов при расчете параметров корреляции: только при нормальном распределении метод
наименьших квадратов дает оценку параметров, отвечающую принципам максимального
правдоподобия. На практике эта. предпосылка чаще всего выполняется приближенно, но и
тогда метод наименьших квадратов дает неплохие результаты1
.
Однако при значительном отклонении распределений признаков от нормального закона нельзя
оценивать надежность выборочного коэффициента корреляции, используя параметры
нормального распределения вероятностей или распределения Стьюдента.
Еще одним спорным вопросом является допустимость применения корреляционного анализа к
функционально связанным признакам. Можно ли, например, построить уравнение
корреляционной зависимости размеров выручки от продажи картофеля, от объема продажи и
цены? Ведь произведение объема продажи и цены равно выручке в каждом отдельном случае.
Как правило, к таким жестко детерминированным связям применяют только индексный метод
анализа. Однако на этот вопрос можно взглянуть и с другой точки зрения. При индексном
анализе выручки предполагается, что количество проданного картофеля и его цена независимы
друг от друга, потому-то и допустима абстракция от изменения одного фактора при измерении
влияния другого, как это принято в индексном методе (см. гл.
10). В реальности количество и цена не являются вполне независимыми друг от друга.
Корреляционно-регрессионный анализ учитывает межфакторные связи, следовательно, дает
нам более полное измерение роли каждого фактора: прямое, непосредственное его влияние на
результативный признак; косвенное влияние фактора через его влияние на другие факторы;
влияние всех факторов на результативный признак. Если связь между факторами
несущественна, индексным анализом можно ограничиться. В противном случае его полезно
дополнить корреляционно-регрессионным измерением влияния факторов, даже если они
функционально связаны с результативным признаком.
1.3.
Задачи корреляционно-регрессивного
анализа и моделирования
В соответствии с сущностью корреляционной связи ее изучение имеет две цели:
1) измерение параметров уравнения, выражающего связь средних значений зависимой
переменной со значениями независимой переменной (зависимость средних величин
результативного признака от значений одного или нескольких факторных признаков);
2) измерение тесноты связи двух (или большего числа) признаков между собой.
Вторая задача специфична для статистических связей, а первая разработана для
функциональных связей и является общей. Основным методом решения задачи нахождения
параметров уравнения связи является метод наименьших квадратов (МНК), разработанный К.Ф. Гауссом (1777-1855). Он состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактически
измеренных значений зависимой переменной у от ее значений, вычисленных по уравнению связи
с факторным признаком (многими признаками) х.
Для измерения тесноты связи применяется несколько показателей. При парной связи теснота
связи измеряется прежде всего корреляционным отношением, которое обозначается греческой
буквой п. Квадрат корреляционного отношения - это отношение межгрупповой дисперсии
результативного признака, которая выражает влияние различий группировочного факторного
признака на среднюю величину результативного признака, к общей дисперсии результативного
признака, выражающей влияние на него всех причин и условий. Квадрат корреляционного
отношения называется коэффициентом детерминации:
, (8.1)
где k — число групп по факторному признаку;
N - число единиц совокупности;
yi - индивидуальные значения результативного признака;
у?j - его средние групповые значения;
у? - его общее среднее значение;
fj - частота в j-й группе.
Формула (8.1) применяется при расчете показателя тесноты связи по аналитической
группировке (см. гл. 6). При вычислении корреляционного отношения по уравнению связи(уравнению парной или множественной регрессии) применяется формула (8.2):
, (8.2)
где у?i - индивидуальные значения у по уравнению связи.
Сумма квадратов в числителе - это объясненная связью с фактором х (факторами) дисперсия
результативного признака у. Она вычисляется по индивидуальным данным, полученным для
каждой единицы совокупности на основе уравнения регрессии.
Если уравнение выбрано неверно или сделана ошибка при расчете его параметров, то сумма
квадратов в числителе может оказаться большей, чем в знаменателе, и отношение утратит тот
смысл, который оно должно иметь, а именно какова доля общей вариации результативного
признака, объясняемая на основе выбранного уравнения связи его с факторным признаком(признаками). Чтобы избежать ошибочного результата, лучше вычислять корреляционное
отношение по другой формуле (8.3), не столь наглядно выявляющей сущность показателя, но
зато полностью гарантирующей от возможного искажения:
В числителе формулы (8.3) стоит сумма квадратов отклонений фактических значений признака у
от его индивидуальных расчетных значений, т. е. доля вариации этого признака, необъясняемая за счет входящих в уравнение связи признаков-факторов. Эта сумма не может
стать равной нулю, если связь не является функциональной. При неверной формуле уравнения
связи или ошибке в расчетах возрастают расхождения фактических и расчетных значений, и
корреляционное отношение снижается, как логически и должно быть.
В основе перехода от формулы (8.2) к формуле (8.3) лежит известное правило разложения сумм
квадратов отклонений при группировке совокупности:
Согласно этому правилу можно вместо межгрупповой (факторной) дисперсии использовать
разность:
При расчете η не по группировке, а по уравнению корреляционной связи (уравнению регрессии)мы используем формулу (8.3). В этом случае правило разложения суммы квадратов отклонений
результативного признака записывается как
Важнейшее положение, которое следует теперь усвоить любому, желающему правильно
применять метод корреляционно-регрессионного анализа, состоит в интерпретации формул (8.2)и (8.3). Это положение гласит:
Уравнение корреляционной связи измеряет зависимость между вариацией результативного
признака и вариацией факторного признака (признаков). Меры тесноты связи измеряют долю
вариации результативного признака, которая связана корреляционно с вариацией факторного
признака (признаков).
Интерпретировать корреляционные показатели строго следует лишь в терминах вариации(различий в пространстве) отклонений от средней величины. Если же задача исследования
состоит в измерении связи не между вариацией двух признаков в совокупности, а между
изменениями признаков объекта во времени, то метод корреляционно-регрессионного анализа
требует значительного изменения (см. гл.
9).
Из вышеприведенного положения об интерпретации показателей корреляции следует, что
нельзя трактовать корреляцию признаков как связь их уровней. Это ясно хотя бы из
следующего примера. Если бы все крестьяне области внесли под картофель одинаковую дозу
удобрений, то вариация этой дозы была бы равна нулю, а следовательно, она абсолютно не
могла бы влиять на вариацию урожайности картофеля. Параметры корреляции дозы удобрений
с урожайностью будут тогда строго равны нулю. Но ведь и в этом случае уровень урожайности
зависел бы от дозы удобрений - он был бы выше, чем без удобрений.
Итак, строго говоря, метод корреляционно-регрессионного анализа не может объяснить ролифакторных признаков в создании результативного признака. Это очень серьезное ограничение
метода, о котором не следует забывать.
Следующий общий вопрос - это уже рассмотренный в разделе о группировке вопрос о «чистоте»измерения влияния каждого отдельного факторного признака. Как отмечалось в главе 6,группировка совокупности по одному факторному признаку может отразить влияние именно
данного фактора на результативный признак при условии, что все другие факторы не связаны с
изучаемым, а случайные отклонения и ошибки взаимопогасились в большой совокупности. Если
же изучаемый фактор связан с другими факторами, влияющими на результативный признак,
будет получена не «чистая» характеристика влияния только одного фактора, а сложный
комплекс, состоящий как из непосредственного влияния фактора, так и из его косвенных
влияний, через его связь с другими факторами и их влияние на результативный признак. Данное
положение полностью относится и к парной корреляционной связи.
Однако коренное отличие метода корреляционно-регрессионного анализа от аналитической
группировки состоит в том, что корреляционно-регрессионный анализ позволяет разделить
влияние комплекса факторных признаков, анализировать различные стороны сложной системы
взаимосвязей. Если метод комбинированной аналитической группировки, как правило, не дает
возможность анализировать более 3 факторов, то корреляционный метод при объеме
совокупности около ста единиц позволяет вести анализ системы с 8-10 факторами и разделить
их влияние.
Наконец, развивающиеся на базе корреляционно-регрессионного анализа многомерные методы(метод главных компонент, факторный анализ) позволяют синтезировать влияние признаков(первичных факторов), выделяя из них непосредственно не учитываемые глубинные факторы(компоненты). Например, изучая корреляцию ряда признаков интенсификации
сельскохозяйственного производства, таких, как фондообеспеченность, затраты труда на
единицу площади, энергообеспеченность, внесение удобрений на единицу площади, плотность
поголовья скота, можно синтезировать общую часть их влияния на уровень продукции с
единицы площади или на производительность труда, получив обобщенный фактор«интенсификация производства», непосредственно не измеримый, не отражаемый единым
показателем.