Основы теории надежности

     Нормальное  распределение является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым для практических расчетов. Этому закону подчиняются, как правило, наработки до отказа тех изделий, которые отказывают из-за износа трущихся поверхностей, коррозионных разрушений и других факторов, приводящих к монотонному изменению параметров функций изделий.

     Функция распределения наработок имеет вид:

F (t) = ( 1 / s Ö 2p ) ò exp{- [(t – m)² / 2 s²]} dt

     Плотность распределения:

 

f (t) = ( 1 / s Ö 2p ) exp{- [(t – m)² / 2 s²]}

Нормальное  распределение имеет два независимых  параметра - m и s, что неудобно для практических расчетов. Поэтому в расчетах на надежность применяют нормированное нормальное распределение F₀ (х) и нормированную плотность вероятности f₀ (х),

F₀ (х) = ò f₀ (х) dх

f₀ (х) = ( 1 / s Ö 2p ) exp{- [х² / 2 ]}

 

а также  функцию Лапласа Ф(х).

Ф(х) = ò f₀ (х) dх

 

F₀ (х) = 0,5 + Ф(х)

Величина  х = (t – m) / s называется квантилью нормированного нормального распределения и обычно обозначается - u_p

Для нормального  распределения характерно правило  трех сигм (3 s), согласно которому абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

      В теории надежности, на практике, правило  трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в правиле трех сигм выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально. В противном случае она не распределена нормально.

      В логарифмически нормальном распределении  логарифм случайной величины распределяется по нормальному закону. Как распределение положительных величин, оно несколько точнее, чем нормальное описывает наработку до отказа деталей, в частности, по усталости, а также подшипников качения, элементов электронных схем и других изделий.. Это распределение более применимо для оценки степени износа к определенному времени или при испытаниях на долговечность.

Плотность распределения описывается зависимостью

 

f (t) = ( 0,4343 / t s_lgt Ö 2p ) exp{- [(lgt – lgm₀)² / 2 s_lgt²]},

Значения параметров lgm0 и slgt определяют по результатам N испытаний

lgm₀ = S lgt_i / N,

s_lgt = Ö S(lgt_i - lgm₀)² / (N – 1)

В том  случае, когда отказы появляются только после некоторого времени t₀ , которое принимается за точку отсчета, выражение зависимости для плотности вероятности принимает вид

 

f (t) = ( 0,4343 / [(t - t₀)s_lgt Ö 2p]) exp{- [(lg(t - t₀)– lgm₀)² / 2 s_lgt²]},

Распределение Вейбулла довольно универсальное, хорошо описывает наработку деталей по усталостным разрушениям, наработку до отказа подшипников, электроники, приемлемо для описания явлений приработки.

     Функция распределения наработок имеет  вид:

     F (t) =1 - exp ( - t^b / t₀)

где t₀ , b - параметры распределения. ( b - параметр формы, t₀ -параметр масштаба)

     Плотность распределения:

f (t) =  a b t^{b - 1} exp ( - a t^b ).

Распределение Вейбулла охватывает разнообразные случаи изменения вероятности отказов. В частности, при

b < 1 плотность распределения имеет вид убывающей функции;

b = 1 распределение Вейбулла совпадает с экспоненциальным;

b = 2 интенсивность отказов является линейной функцией (этот частный случай, когда распределение Вейбулла совпадает с так называемым распределением Рэлея);

b = (от 3,3 до 3,5) распределение Вейбулла весьма близко к нормальному.

      Обобщение около 300 законов распределения случайных величин, связанных с эксплуатацией автомобилей, позволило проследить связь между законами распределения и коэффициентом вариации.

 
 

Коэффициент вариации растет, и распределение  отличается от нормального тем заметнее, чем больше сказывается влияние  какого-либо выделяющегося фактора

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

    

НОМЕНКЛАТУРА  ОСНОВНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ  НАДЕЖНОСТИ

 

      Показатели  надежности автотранспортных средств  
и технологического оборудования.

    Под номенклатурой показателей надежности понимается состав показателей, необходимый и достаточный для характеристики объекта или решения поставленной задачи. Номенклатура показателей надежности выбирается с учетом вида изделия, последствий отказов и других факторов, определяемых целями исследования. Полный состав номенклатуры показателей надежности, из которой выбираются показатели надежности для конкретного объекта и решаемой задачи, установлен государственным стандартом.

    Показатели  надежности принято классифицировать по следующим признакам.

    По  свойствам надежности, которые они  характеризуют, - показатели безотказности, долговечности, ремонтопригодности и сохраняемости.

    По  числу свойств, которые они характеризуют, — единичные показатели, характеризующие одно из свойств надежности, комплексные показатели, характеризующие одновременно несколько свойств надежности (например, одновременно безотказность и ремонтопригодность).

    По  числу характеризуемых объектов - групповые, индивидуальные и смешанные показатели.

    К групповым относятся такие показатели, которые регламентируют требования к уровню надежности некоторой совокупности (партии) изделий. Эти показатели могут быть определены и установлены только для совокупности изделий; уровень надежности отдельного экземпляра изделий они не регламентируют.

К индивидуальным относятся показатели, которые устанавливают норму надежности для каждого изделия рассматриваемого типа. К таким показателям относятся: установленный ресурс (срок службы), установленная безотказная наработка и др.

    К смешанным относятся показатели, которые одновременно могут выступать как групповые и как индивидуальные.

    По  размерности - показатели, определяемые наработкой и календарной продолжительностью. Первые применяются в случае, когда свойства изделий изменяются только во время непосредственного функционирования (работы) и наработка учитывается, вторые - когда свойства изделий изменяются в течение всего периода эксплуатации и наработка не учитывается.

    Различают статистические (оценочные, приблизительные) и вероятностные (точные) показатели.

    Статистические  оценки – это результат наблюдения за некоторой выборкой N изделий. Если N ® ¥ , то выборка приближается к генеральной совокупности, а статистическая оценка – к вероятностной. При испытаниях значение числа наблюдений выбирается так, чтобы обеспечить приемлемую погрешность результатов. В этом случае статистические оценки могут быть приняты за вероятностные.

    Рассмотрим  показатели надежности применительно  к свойствам надежности, которые они характеризуют.

 

    Показатели  безотказности.

    Безотказность — свойство объекта сохранять непрерывно работоспособность в течение некоторого времени или некоторой наработки.

Эти показатели характеризуют свойство объекта  непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или некоторой наработки. К числу основных показателей безотказности относятся вероятность безотказной работы, интенсивность отказов, средняя наработка до отказа, γ-процентная наработка до отказа, наработка до отказа, установленная наработка до отказа.

      Вероятность безотказной работы - вероятность того, что в пределах заданной наработки не возникает отказ объекта.

    Вероятность безотказной работы объекта в интервале времени от 0 до t₀ определяется из выражения

 

P(t₀) = P(0, t₀) = P(t ³ t₀) = 1 –F(t) = 1 - ò f(t) dt,

 

где P(t₀) – вероятность того, что объект проработает безотказно в течение заданного времени работы t, начав работать в момент времени t = 0, или вероятность того, что время работы объекта до отказа окажется больше заданного времени работы t_0;; F(t) – функция распределения случайной величины (наработки) t; f(t) – функция плотности вероятности случайной величины (наработки) t.