Построение линии взаимного пересечения поверхностей. Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка.

МИНИСТЕРСТВО  ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГОУВПО УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ  УЧИЛИЩЕ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ) 
 
 
 
 
 

РЕФЕРАТ

По прикладной геометрии и инженерной графики

Тема  реферата : Построение линии взаимного пересечения поверхностей. Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка. 
 
 

                                                                                   Выполнил курсант 1-го курса

                                                                                                            группы П-11-4

                                                                                               Дашидымбрылов Ч.О.

                                                                                    Руководитель : Брокерт В.В. 
 
 

2011 г.

Построение  линии взаимного  пересечения поверхностей

Построение линии  пересечения поверхностей осуществляется при помощи вспомогательных секущих  поверхностей. При этом данные поверхности  пересекаются вспомогательной поверхностью и определяются линии пересечения  каждой из данных поверхностей со вспомогательной. Если эти линии пересекаются (а они, в силу принадлежности одной и той же вспомогательной поверхности, могут пересекаться, касаться или не иметь общих точек), то полученные точки пересечения принадлежат обеим данным поверхностям и, следовательно, их линии пересечения.

 Если в  качестве вспомогательных секущих  поверхностей используются плоскости,  то способ построения называют  способом вспомогательных плоскостей. Если используются сферы - способом  вспомогательных сфер. Рассмотрим  применение вспомогательных секущих  плоскостей на примере построения  линии пересечения цилиндра с  конусом вращения (рис.1).

 Для построения  линии пересечения заданных поверхностей  удобно в качестве вспомогательных  поверхностей использовать серию  горизонтальных плоскостей, перпендикулярных  оси конуса, которые пересекают  цилиндр и конус по окружностям.  На пересечении этих окружностей  находят точки искомой линии  пересечения. 

 Известно, что  если ось поверхности вращения  проходит через центр сферы  и сфера пересекает эту поверхность,  то линия пересечения сферы  и поверхности вращения - окружность, плоскость которой перпендикулярна  оси поверхности вращения. При  этом, если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические и неконцентрические сферы. Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер - сфер с постоянным центром.

Рис.1. Пример построения линии пересечения поверхностей конуса и цилиндра с помощью вспомогательных  секущих плоскостей

Способ секущих  сфер с постоянным центром для  построения линии пересечения двух поверхностей применяют при следующих  условиях:

- обе линии  пересекающиеся поверхности - поверхности  вращения;

-оси поверхностей  вращения пересекаются;

- точку пересечения  принимают за центр вспомогательных  (концентрических) сфер;

- плоскость,  образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть  параллельна плоскости проекций.

 В случае, если это условие не соблюдается, то, чтобы его обеспечить, прибегают к способам преобразования чертежа.

 Такие сферы  применяют, если:

- одна из  пересекающихся поверхностей - поверхность  вращения, другая поверхность имеет  круговые сечения; 

- две поверхности  имеют общую плоскость симметрии  (т. е. ось поверхности вращения  и центры круговых сечений  второй поверхности принадлежат  одной плоскости - плоскости их  симметрии).

Рис. 2. Пример построения линии пересечения поверхностей конусов с помощью концентрических  сфер  
 

 Плоскость  симметрии параллельна плоскости  проекций (это условие при необходимости  может быть обеспечено преобразованием  чертежа).

 Рассмотрим  построение линии пересечения  прямого кругового конуса и  тора, оси которых скрещиваются  с помощью эксцентрических сфер (рис. 3).

 Ось конуса параллельна плоскости , ось тора перпендикулярна плоскости , окружность центров осевых круговых сечений тора и ось конуса лежат в одной плоскости, параллельной плоскости . Две очевидные характерные точки: высшая с проекцией и низшая - являются точками пересечения проекций очерков тора и конуса.

 Для построения  проекций промежуточных точек,  например проекции , выполняют следующие построения: выбирают на поверхности тора окружность, например с проекцией с центром в точке с проекцией .

Рис.3. Пример построения линии пересечения поверхностей конуса и тора с помощью эксцентрических сфер

 Перпендикуляр  к плоскости этой окружности из точки с проекцией является линией центров множества сфер, которые пересекают тор по окружности с проекцией . Из множества этих сфер выбирают сферу с центром на оси конуса. Его проекция . Эта сфера радиусом пересекает конус по окружности с проекцией . Пересечение проекций и является проекцией пары общих точек тора и конуса, т.е. линии их пересечения. На чертеже обозначена проекция одной из указанных точек - точки на видимом участке линии пересечения.

 Построение  проекций второй пары точек  линии пересечения, из которых обозначена проекция , выполнено с помощью отрезка - проекции окружности на поверхности тора. Вспомогательная сфера для построения проекции - сфера радиусa с центром, проекция которого . Конус эта сфера пересекает по окружности с проекцией . В пересечении проекций и окружностей находим проекцию искомой точки и симметричной ей на невидимой части пересекающихся поверхностей. 

Особые  случаи пересечения  поверхностей второго  порядка

На рис. 4 изображены три случая пересечения цилиндра и конуса вращения. В первом случае цилиндр врезается в конус, так как, если вписать в конус сферу с центром в точке пересечения осей поверхностей, то радиус ее будет больше радиуса цилиндра. Все образующие цилиндра пересекаются с поверхностью конуса. Во втором случае конус врезается в цилиндр, так как сфера, вписанная в цилиндр, пересекает конус. Все образующие конуса пересекают поверхность цилиндра. В третьем случае сфера, вписанная в одну поверхность, касается второй поверхности. В пересечении участвуют все образующие и цилиндра, и конуса, а пространственная линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые второго порядка - эллипсы.

    Это  положение подтверждается теоремой  Монжа: Если две поверхности  второго порядка могут быть  вписаны или описаны около  третьей поверхности второго  порядка, то пространственная  кривая их пересечения четвертого  порядка распадается на две  плоские кривые второго порядка. 

    На  рис. 5 показано построение линии пересечения двух цилиндров вращения, заданных своими фронтальными проекциями. Пусть оси данных поверхностей пересекаются и лежат в плоскости, паралельной плоскости . В эти поверхности можно вписать третью поверхность - сферу, которая будет касаться двух цилиндров по окружностям, пересекающимся в точках С и D. На основании теоремы Монжа данные цилиндрические поверхности пересекутся по двум эллипсам, плоскости которых будут проходить через отрезок CD (точки пересечения окружностей соприкосновения сферы и пересекающихся поверхностей). Фронтальные прокции эллипсов изобразятся отрезками прямых и . На чертеже построен натуральный вид одного из эллипсов с осями АВ и CD (АВ = , CD равна диаметру цилиндров).

                    Рис. 4                                                               Рис. 5

Следствие из теоремы  Монжа. Если плоскость осей поверхностей второго порядка параллельна  плоскости проекций, то пространственная кривая их пересечения четвертого порядка  проецируется на эту плоскость в  кривую второго порядка. Так на рис 9.14а,б пространственные кривые спроецировались в гиперболы.