Методы отыскания решений систем нелинейных уравнений. Постановка задачи. Этапы решения. Метод простой итерации.

Пусть требуется  найти приближенное решение двумерной  нелинейной системы (4.3.1) в предположении  непрерывной дифференцируемости входящих в нее функций f(x, у) и g(x, у) в некоторой области G, содержащей искомое решение х* =(х*; у*) и приближения к нему k = 0,1,2,....

Будем считать, что уже найдено k-е приближение к решению х* и нужно получить правило перехода к (k+1)-му приближению. В сделанном предположении о гладкости функций f(x, у) и g(x, у) можно провести касательные плоскости в точке ( ) определяемым ими поверхностям

z = f(x,y)   и    z = g(x,y).                              (3.5.3)

Эти плоскости  задаются текущими векторами

и нормалями

соответственно, т.е. аналогично первому из условий (3.5.1) должно быть   иначе,

.                                      (3.5.4)

Пересечение двух касательных плоскостей, т.е. образ, определяемый уравнениями (3.5.4), есть прямая в трехмерном пространстве, общая  точка которой с координатной плоскостью Оху является ньютоновским приближением к решению х* сиcтемы (4.3.1). Наша цель — построить третью плоскость, пересечение которой с упомянутой прямой (линией пересечения касательных плоскостей ) давало бы точку в пространстве R₃ такую, проекция которой на плоскость Оху могла бы оказаться ближе к х*, чем .

Чтобы осуществить  поставленную цель, зафиксируем в  R₃ две несовпадающие между собой и с точки — полюсы и . Через указанные три точки можно провести единственную плоскость (которая здесь играет роль прямой, проходящей через полюс и точку (х_к; 0) в одномерной ситуации). Взяв текущую точку М(х; у; z) и образовав текущий вектор этой третьей плоскости, можно задать ее условием компланарности трех векторов- и (что служит аналогом второго из условий (3.5.1)).

Запишем совокупность всех трех описанных средствами векторной  алгебры плоскостей в координатной форме. Имеем:

Первые две  координаты вектора (x;y;z), служащего решением полученной системы уравнений, считаем искомым приближением ( ).Введя поправки

,                                  (3.5.5)

эту  систему  превращаем   в  систему уравнений  относительно неизвестных  и z:

               (3.5.6)

Для исключения вспомогательной переменной z из линейной системы (3.5.6) выразим ее из третьего уравнения. Обозначив

,    ,           (3.5.7)

раскрываем фигурирующий в (3.5.6) определитель по элементам первой строки:

Отсюда находим  выражение

                                       (3.5.8)

подставляя которое  в первые два уравнения системы (3.5.6), приходим к двумерной линейной системе

           (3.5.9)

Фактически эта  система вместе с обозначениями (3.5.7) и определяет двумерный полюсный метод Ньютона для нелинейной системы (4.3.1). Надя их нее поправки , в соответствии с равенствами (3.5.5) получаем очередное приближение :

,    .

Дельнейшее преобразование полюсного метода Ньютона, т. е. переход  от размерности 2 к произвольной размерности, совершаем формально на основе предыдущего  построения.

Пусть задана нелинейная система, функции  (образующими вектор ) в точке , можно описать матрично-векторным уравнением

,                                 (3.5.10)

где - n-мерный вектор, каждой компонентой которого служит вспомогательная переменная , входящая в уравнения гиперповерхностей .

Зададим n полюсов (i=1,2,…,n) так, чтобы они не принадлежали одной гиперплоскости пространства . Через все эти полюсы и точку ( ), определяемую известным приближением к решению системы, проводим гиперплоскость, уравнение которой аналогично двумерному случаю задаем условием равенство нулю определителя (n+1) порядка:

.                          (3.5.11)

Векторно-матричное  уравнение (3.5.10) и скалярное уравнение (3.5.11), в принципе, уже определяют векторный n-полюсный метод Ньютона для построения приближенной к решению системы. Чтобы записать соответствующую линейную систему относительно поправок

                           (3.5.12)

(аналогичную  схеме (3.5.9) двумерного случая), введем  следующие обозначения. Положим

,   ,  

и образуем квадратную (n+1)-мерную матрицу следующей структуры:

.

Тогда на основе (3.5.10), (3.5.11) имеем (n+1)-мерную систему уравнений относительно неизвестных :

                                     (3.5.13)

Как и в двумерном  случае, из второго уравнения этой системы выражаем вспомогательную  неизвестную  :

                                        (3.5.14)

где , а есть алгебраические дополнения к элементам первой строки матрицы (что через соответствующие миноры этой матрицы можно представить так: ,  ).

Заменив в (3.5.13) все компоненты вектора z найденным их значением (3.5.14), приходим к следующему линейному векторно матричному уравнению относительно вектора-поправки :

,                                  (3.5.15)

где

  .                             (3.5.16)

Уравнение (3.5.15) вместе со связью (3.5.12), согласно которой 

,                                        (3.5.17)

является  неявной  формой п -полюсного метода  Ньютона для уравнения (2.1а).

Совокупности  формул (3.5.15)-(3.5.17) можно придать другой вид:

,                       (3.5.18)

который удобно трактовать как явный метод Ньютона  со своеобразной коррекцией матриц Якоби  путем прибавления к ним формирующихся  по заданному правилу матриц . Как и в одномерном случае, для ускорения сходимости последовательности приближений полюсы целесообразно изменять в такт с изменением значений функций, и в самом простом случае есть смысл фиксировать матрицу С, а вектор брать равным или -

5. ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР

Начальное приближение:

 

Вектор-функция:

 

Матрица Якоби  вектор-функции:

Вычисляем корень по формуле метода Ньютона c точностью :

 

k
0	0 -1	-0.841 0	-1.06 0.54 0 -2	-0.944 -0.255 0 -0.5	-0.794 -1	0.794>
1	-0.794 -1	0.295 0.63	-1.821 -0.221 -1.588 -2	-0.608 0.067 0.482 -0.553	-0.657 -0.794	0.247>
2	-0.657 -0.794	0.058 0.062	-1.48 0.12 -1.314 -1.588	-0.633 -0.048 0.524 -0.59	-0.617 -0.788	0.040>
3	-0.617 -0.788	-0.0000597 0.011	-1.441 0.159 -1.234 -1.588	-0.639 -0.064 0.497 -0.58	-0.616 -0.788	0.001=
4	-0.616 -0.788	0.000522 0.0004	-1.434 0.166 -1.232 -1.576	-0.639 -0.067 0.5 -0.582	-0.616 -0.788	0<

 
 

Ответ: . 

6. ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ  НА ЯЗЫКЕ MATHCAD

Вводим вектор функцию:

Функция iter(x,y) вычисляет следующее приближение к корню по формуле Ньютона , где

,

,

,

:

 

Функция norma(x,y,x1,y1) вычисляет норму между текущим и следующим приближением:

 

Функция Newton(x,y,eps) находит решение системы уравнений с точностью до eps:

 

Найдем решение  заданной системы нелинейных уравнений  при начальном приближении x=0, y=-1, с точностью до 0.001: 

 

Полученное решение  совпадает с рассчитанным.