Контрольная работа по "Логистике"

Задание по логистике вариант № 52

Дано условие:

Имеются поставщики лесоматериалов (А1,А2….Аj….Аm) и потребители их (В1.В2,В3….Вj….Bm). Известны мощности поставщиков (аj – объемы производства ) и емкости потребителей (bj – объемы потребления), а также затраты на поставку лесоматериалов от поставщиков к потребителям.

Поставщики	Объем производства, т.м.куб	Потребители
		В1	В2	В3	В4
		Потребность в т.м.куб
		80	150	180	90
		Затраты на поставку руб.1м.куб.
А1	190	7	6	5	8
А2	250	9	8	7	М
А3	220	8	4	6	11

 

Пропускная способность  d32=100

Требуется определить оптимальный  объем транспортных связей поставщиков  с потребителями, обеспечивающий минимальные  суммарные затраты на поставку пиломатериалов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

Математическая модель транспортной задачи:

F = ∑∑c_ijx_ij,    (1)

при условиях:

∑x_ij = a_i,  i = 1,2,…, m,   (2)

∑x_ij = b_j,  j = 1,2,…, n,   (3)

Стоимость доставки единицы  груза из каждого пункта отправления  в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	4	Объемы
1	7	6	5	8	190
2	9	8	7	М	250
3	8	4	6	11	220
Потребности	80	150	180	90

 

Поскольку в матрице присутствуют запрещенные к размещению клетки, то для отыскания оптимального плана  достаточно заменить их на максимальные тарифы (М умноженное на 3).

	1	2	3	4	Объемы
1	7	6	5	8	190
2	9	8	7	0	250
3	8	4	6	11	220
Потребности	80	150	180	90

 

 

 

Проверим необходимое  и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 190 + 250 + 220 = 660

∑b = 80 + 150 + 180 + 90 = 500

Занесем исходные данные в  распределительную таблицу.

	1	2	3	4	5	Объемы
1	7	6	5	8	0	190
2	9	8	7	0	0	250
3	8	4	6	11	0	220
Потребности	80	150	180	90	160

 

 

План перевозок, полученный методом минимальной  стоимости

Решение задачи методом северо-западного  угла всегда начинается с левого, верхнего тарифа([A1;B1]). Полностью удовлетворяем  потребность данного тарифа, учитывая пропускную способность. Исключаем первый столбец. Дальше смотрим если запасы ещё остались, рассматриваем рядом стоящий тариф ([A2;B1]), если нет, то исключаем и первую верхнею строк. И рассматриваем следующий тариф по аналогичной схеме. В результате получен опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.

 

 

 

 

Табл.1

2)не пол.	Тарифы на перевозку груза
	7	6	5	8			2730
	9	8	7	М
	8	4	6	11
	Метод сев-зап угла
	В1	В2	В3	В4			Объемы
А1	80	100	10	0		190	190
А2	0	50	100	90	10	250	250
А3	0	0	70	0	150	220	220
	80	150	180	90	160
	80	150	180	90	160		660

 

Минимальные затраты составят:

F(x) = 7*80 + 6*100+5*10 + 8*50 + 7*100 + М(0)*90 + 7*70  = 2730

 

План перевозок, полученный методом минимальной  стоимости

Табл.2

1)	Тарифы на перевозку груза
	7	6	5	8			2280
	9	8	7	М
	8	4	6	11
	План по методу миним.стоимости
	В1	В2	В3	В4			Объемы
А1	40	50	100	0		190	190
А2	0	0	0	90	160	250	250
А3	40	100	80	0		220	220
	80	150	180	90	160
	80	150	180	90	160		660

 

Для решения задачи методом  наименьшей стоимости сначала из все матрицы тарифов выбираем наименьший тариф (4). Полностью удовлетворяем его потребность, учитывая пропускную способность. Исключаем из решения столбец в котором он находился. Ищем следующий минимальный тариф (5) Удовлетворяем его потребности. Исключаем из решения столбец в котором он находился. Дальше продолжаем до тех пор, пока все запасы не будут розданы.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.

 

Подсчитаем затраты на распределение  товаров:

F(x) = 7*40 + 6*50+5*100 + 8*50 + 7*100 + М(0)*90 + 8*40+4*100+6*80=2280

Результат: Затраты на распределение  товаров между магазинами найденные  методом наименьшей стоимости составят 2280 рублей.

 

Определение оптимального плана перевозок.

Планы перевозок груза, полученные ранее и содержащиеся в табл. 1,2, образованы без привлечения надлежащего  математического аппарата, и потому, вряд ли являются оптимальными. Лучшим, т.е. наиболее близким к оптимальному, из трех рассмотренных планов является в данном случае план, полученный методом наименьшей стоимости, так как суммарные затраты по нему наименьшие и составляют 2280 руб.

Чтобы определить оптимальный план перевозок, следует обратиться к  процедуре «Поиск решения»( как показано на рис. а.) ,а данные возьмем из табл.2

1)	Тарифы на перевозку груза
	7	6	5	8			2280
	9	8	7	М
	8	4	6	11
	План по методу миним.стоимости
	В1	В2	В3	В4			Объемы
А1	40	50	100	0		190	190
А2	0	0	0	90	160	250	250
А3	40	100	80	0		220	220
	80	150	180	90	160
	80	150	180	90	160		660

 

 

 

 

Рис.а Обращение к процедуре «Поиск решения» в транспортной задаче

Результаты оптимизации представлены табл. 3

Табл.3

d=100		Тарифы на перевозку груза
		7	6	5	8			2130
		9	8	7	М
		8	4	6	11
		Оптимальный план перевозок
		В1	В2	В3	В4			Объемы
	А1	80	0	110	0		190	190
	А2	0	0	0	90	160	250	250
	А3	0	150	70	0		220	220
		80	150	180	90	160
		80	150	180	90	160		660

 

Данный способ решения  транспортной задачи является очень  удобным и быстрым, а главное  рассчитывает оптимальный план распределения  товаров с минимальными затратами, которые составляют 2 130 рублей.

 

 

 

 

 

 

 

Оптимальный план перевозок в виде графа

 

На основании оптимального плана изображен граф перевозок  в виде рис. б. На графе представлены направления перевозок груза и оптимальные объемы перевозок.