Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство  по образованию

Государственное образовательное  учреждение высшего  профессионального

образования

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

 

Вариант №1

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила                                                       

Специальность                                                 

№ личного дела                                                

Группа                                                               

Дисциплина                                                       ЭММ ПМ

Преподаватель                                                 

                                                                              

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант №1

Задача 1.1.

Условия задачи:

Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акции А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акции В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В -10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Решение:

Математическая модель имеет вид.

 

F = 0,08x₁ + 0,1x₂ Þ max  -  целевая функция (прибыль)     

x₁ + x₂ £ 300   

 x₁ ³ 2x₂ = x₁ -2x₂ ³0   -   ограничения по сумме вложений               

x₂ £ 100    

      x₁ ³ 0;  x₂ ³ 0; 

Управляющие переменные:

 x_1- сумма капитала вложенная в акции автомобильного концерна А _,

x₂ – сумма капитала вложенная в акции строительного предприятия В, соответственно;

  F – прибыль.

Система неравенств включает ограничения по суммам вложений. Акции А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акции В, причем акций В можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

 

 

 

 

 

Необходимые для работы программы «Поиск решения» данные:

 

 

	A	B	C	D	E	F	G	H
1
2
3	переменные	х1	х2
4	значения					<--свободные ячейки
5
6	цел-я функция	коэф-ты Cj				значение F
7		0,08	0,1			=СУММПРОИЗВ(В7:С7;В4:С4)
8
9	ограничения	коэф-ты аj				формула	знак	bi
10	1-ое	1	1			=СУММПРОИЗВ(В10:С10;В4:С4)	<=	300
11	2-ое	1	-2			=СУММПРОИЗВ(В11:С11;В4:С4)	>=	0
12	3-ие	0	1			=СУММПРОИЗВ(В12:С12;В4:С4)	<=	100

 

Диалоговое окно программы  «Поиск решения»

Установить целевую  ячейку $F$7

Равной O max значению

Изменяемые ячейки переменных:$B$4:$C$4

В соответствии с ограничениями:

$F$10<=$H$10

$F$11>=$H$11

$F$12<=$H$12

 v  Сделать переменные без ограничений неотрицательными

Метод решения «Поиск решения линейных задач симплекс-методом»

 

Результат работы программы  «Поиск решения»

 

	A	B	C	D	E	F	G	H
1
2
3	переменные	х1	х2
4	значения	200	100			<--свободные ячейки
5
6	цел-я функция	коэф-ты Cj				значение F
7		0,08	0,1			26
8
9	ограничения	коэф-ты аij				формула	знак	bi
10	1-ое	1	1			300	<=	300
11	2-ое	1	-2			0	>=	0
12	3-ие	0	1			100	<=	100

 

Графическое решение.

F = 0,08x₁ + 0,1x₂ Þ max 

                                                                                 x₁ + x₂ £ 300

                                                                                                                    x₁ -2x₂ ³0  

                                                                                                               x₂ £ 100 

                                                                                                      x₁ ³ 0;  x₂ ³ 0; 

 

х2
300
200
150								X1-2X2=0
	A			B
100
						X2=100
							C
0		100		200		300		х1
	L							X1+X2=300

 

 

 

1.Определим множество решений неравенств:

 

1-ое ограничение

x₁ + x₂ = 300

x₁    0    300

x₂   300    0

 

2-ое ограничение

x₁ -2x₂ =0  

x₁   0    300

x₂   0    150

 

3-ие ограничение

x₂ =100 – горизонтальная

прямая

 

 

2. Приравняем целевую  функцию к нулю F = 0,08x₁ + 0,1x₂ =0  

 

x₁    0     1

x₂    0    -0,8

 

через эти две точки проведем линию (L).

3. Построим вектор-градиент и соединим его с началом координат

∆ (с₁ ; с₂ );

∆ (0,08 ; 0,1 ).

4. При минимизации целевой функции  необходимо в направлении вектора-градиента. В нашем случае движение линии уровня будет осуществляться до ее пересечения с точкой В, далее она выходит из области допустимых решений. Именно в этой точке достигается максимум целевой функции.

  x₁ + x₂ = 300           

   x₂ =100

  x₁ = 300 -x₂

  x₁ = 300 – 100 = 200;   F = 0,08*200 + 0,1*100 = 16 + 10 = 26.

 

5. Ответ: max (F) =26 и достигается при   x₁ =200;  x₂ =100; 

Рекомендуется вложить  в акции автомобильного концерна А, 200 тыс. ден. ед., в акции строительного предприятия В, 100 тыс. ден. ед., в первый год получим максимум прибыли 26 тыс. ден. ед.

6. Если поставить задачу  минимизации, функциональную линию  уровня необходимо смещать в  направлении противоположном вектору-градиенту  ∆. Минимум целевой функции  достигается в точке 0 (0;0) следовательно можно записать min (F) = 0 и достигается при   x_{1 =} 0;  x₂ = 0.

 

Задача 2.1.

Для изготовления четырех  видов продукции используют три  вида сырья. Запасы сырья, нормы его  расхода и цены реализации каждого  вида продукции приведены в таблице.

 

Тип сырья	Нормы расхода сырья  на одно изделие				Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I	1	2	1	0	18
II	1	1	2	1	30
III	1	3	3	2	40
Цена изделия	12	7	18	10

 

 

 

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную  задачу на максимум выручки  от реализации готовой продукции, получить оптимальный план с помощью теорем двойственности.

2. Сформулировать двойственную  задачу и найти ее оптимальный  план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения  переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;
• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

1. Математическая модель имеет вид.

F = 18x₁ + 30x₂ + 40x₃ Þ min (стоимость ресурсов)

       x₁ + x₂ + x₃ ³12 
      2x₁ +x₂ + 3x₃ ³7     - стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы      

 x₁ +  2x₂ +3x₃ ³18     продукции, при нормах расходах сырья соответственно     

0x₁ +  x₂ +2x₃ ³10     (А, Б, В, Г).

 

Управляющие переменные:

x₁ – двойственная оценка или теневая цена 1–ого ресурса

x₂ – двойственная оценка или теневая цена 2–ого ресурса

x₃ – двойственная оценка или теневая цена 3–го ресурса

Необходимые для работы программы «Поиск решения» данные:  

 

 

	A	B	C	D	E	F	G
1
2
3	переменные	х1	х2	х3
4	значения				<--свободные ячейки
5
6	цел-я функция	коэф-ты Cj			значение F
7	F	18	30	40	=СУММПРОИЗВ(В7:D7;В4:D4)
8
9	ограничения	коэф-ты аij			формула	знак	bi
10	1-ое	1	1	1	=СУММПРОИЗВ(В10:D10;В4:D4)	>=	12
11	2-ое	2	1	3	=СУММПРОИЗВ(В11:D11;В4:D4)	>=	7
12	3-ие	1	2	3	=СУММПРОИЗВ(В12:D12;В4:D4)	>=	18
13	4-ое	0	1	2	=СУММПРОИЗВ(В13:D13;В4:D4)	>=	10