Нелинейная регрессия

Значения R2, ,  также могут быть манипулированы, с помощью включения фиктивных  факторов. Например, если два показателя имеют возрастающую динамику, то их коэффициент корреляции (который входит в факторное разложение) будет достаточно высок. Поэтому логическая и смысловая адекватность модели имеют первостепенную важность. Только качество модели может быль проверено или сопоставлено с использованием R2 и его модификаций.

[править]

Решение проблем  или модификации R2

[править]

R2-скорректированный  (adjusted)

Для того, чтобы  исследователи не увеличивали R2 с  помощью добавления посторонних  факторов, R2 заменяется на скорректированный , который даёт штраф за дополнительно включённые факторы, где n - количество наблюдений, а k - количество объясняющих переменных, включая свободный член.}

[править]

R2-распространённый (extended)

В случае отсутствия в линейной множественной МНК регрессии свободного члена все четыре вышеперечисленных свойства могут нарушаться для конкретной реализации. Поэтому регрессию со свободным членом и без него нельзя сравнивать по критерию R2. Эта проблема решается с помощью построения распространённого коэффициента детерминации , который будет совпадать с исходным для случая МНК регрессии со свободным членом, и для которого будут продолжать выполняться четыре свойства перечисленые выше. Суть этого метода заключается рассмотрении проекции единичного вектора на плоскость объясняющих переменных [2].

Для случая регрессии  без свободного члена:

,

где X - матрица nxk значений факторов, P(X) = X * (X' * X) ? 1 * X' - проектор на плоскость X, , где in - единичный вектор nx1.

 с условием  небольшой модификации, также подходит для сравнения между собой регрессий построенных с помощью: МНК, обобщённого метода наименьших квадратов (ОМНК), условного метода наименьших квадратов (УМНК), обобщённо-условного метода наименьших квадратов (ОУМНК).

[править]

R2-истинный (несмещённый)

AIC - информационный  критерий Акаике - применяется исключительно  для сравнения между моделями. Чем меньше значение тем лучше.  Часто используется в виде  сравнения моделей временных  рядов с разным количеством  лагов.

. Даёт меньший  штраф за включение лишних лагов в модель, чем BIC.

BIC - информационный  критерий Шварца - используется и  интерпретируется аналогично AIC. 
 
 
 
 
 

3.Теория производства изучает, прежде всего, соотношение между количеством применяемых ресурсов и объемом выпуска. Методологически теория производства во многом схожа с теорией потребления, однако с тем отличием, что основные ее категории имеют не субъективно-психологическую основу, а объективную природу и могут быть квантифицированы, т.е. измерены в определенных единицах.

Для того чтобы описать поведение фирмы, необходимо знать, какое количество продукта она может произвести, используя ресурсы в тех или иных объемах.

Исходным пунктом  такого анализа служит производственная функция. Она была разработана в 1890 году английским математиком А. Берри, помогавшим А. Маршаллу при подготовке математического приложения к работе «Принципы экономической науки». Маршалл А. Принципы экономической науки. М., 1993, с.137.

Производственная  функция - функция, описывающая зависимость  количества продукта, которое может произвести фирма, от объемов затраченных ресурсов.

Производственная  функция во многом похожа на функцию  полезности, в теории потребления. Это  объясняется тем, что по отношению  к ресурсам фирма является потребителем и производственная функция характеризует именно эту сторону производства - производство как потребление.

Производственной  функции присущи наиболее общие  свойства функции полезности. Производственная функция описывает множество  технически эффективных способов производства (технологий). Каждая технология характеризуется определенной комбинацией ресурсов, необходимых для получения единицы продукции. Хотя производственные функции различны для разных видов производств, все они обладают общими свойствами.

1. Существует  предел увеличения объема производства, который может быть достигнут увеличением затрат одного ресурса при прочих равных условиях. Это значит, что на фирме при данном количестве станков и производственных помещений есть предел увеличения производства посредством привлечения большего количества рабочих. Прирост выпуска при увеличении численности занятых будет приближаться к нулю.

2. Существует  определенная взаимодополняемость  (комплементарность) факторов производства, но без сокращения объемов  производства возможна и определенная взаимосвязь этих факторов. Например, эффективен труд работников, если они обеспечены всеми необходимыми орудиями труда. При отсутствии таких орудий объем может быть сокращен или увеличен при росте числа занятых. В данном случае происходит замена одного ресурса другим.

3. Способ производства  А считается технически более  эффективным, по сравнению со  способом Б, если он предполагает  использование хотя бы одного  ресурса в меньшем, а всех  остальных - не в большем количестве, чем способ Б. Технически неэффективные способы не используются рациональными производителями.

4. Если способ  А предполагает использование  одних ресурсов в большем, а  других - в меньшем количестве, чем  способ Б, эти способы несравнимы  по технической эффективности.  В этом случае оба способа считаются технически эффективными и включаются в производственную функцию. Какой из них выбирать - зависит от соотношения цен применяемых ресурсов. Этот выбор основывается на критериях экономической эффективности. Следовательно, техническая эффективность не тождественна экономической эффективности.

Техническая эффективность - это максимально возможный объем  производства, достигаемый в результате использования имеющихся ресурсов.

Экономическая эффективность - это производство данного  объема продукции с минимальными издержками. 

В теории производства традиционно используются двухфакторная  производственная функция, в которой  объем производства, является функцией использования ресурсов труда и  капитала

Q = f (L, K)

Графически каждый способ производства (технология) может быть представлен точкой, характеризующей минимально необходимый набор двух факторов, нужных для производства данного объема продукции . Если соединить разные технологии линией, получится изображение производственной функции (линии равного выпуска), которая получила название изокванты. На рисунке показано, что объем производства Q может быть достигнут при разных комбинациях факторов производства (Т1,Т2,Т3, и т.д.). Верхняя часть изокванты отражает капиталоемкие, нижняя - трудоемкие технологии. 

Карта изоквант- это совокупность изоквант, отражающих максимально достижимый уровень  выпускаемой продукции при любом  данном наборе факторов производства. Чем дальше расположена изокванта  от начала координат, тем больше объем  выпуска. Изокванты могут проходить через любую точку пространства, где находятся два фактора производства. Смысл карты изоквант аналогичен смыслу карты кривых безразличия для потребителей. Вогнутость изоквант указывает на то, что предельные производительности факторов разнонаправлены и в каждой точке будут иметь разную предельную производительность. Это говорит о том, что одно и то же приращение одного фактора будет замещаться убывающим количеством другого фактора. Величина, отражающая необходимые количественные изменения одного фактора в зависимости от единичных измерений другого фактора при сохраненном объеме выпуска, наз. Предельной нормой технического замещения факторов MRTS.Таким образом, при обеспечении постоянного объема выпуска, соотношение замены одного фактора другим выражается предельной нормой технического замещения, при равенстве которой соотношению предельных продуктов факторов достигается оптимальная их комбинация. Изокванты схожи по определению с кривыми безразличия. Так же как и кривые безразличия, отражающие альтернативные варианты потребительского выбора продуктов, обеспечивающие определенный уровень полезности, изокванты отражают альтернативные варианты затрат ресурсов для производства определенного объема продукции. Изокванты строятся на основе эмпирических данных, полученных в результате анализа того или иного производственного процесса, и несут в себе его характеристики. Во-первых, сама форма изокванты отражает возможности замещения факторов, т.е. пределы возможности комбинаций факторов. Во-вторых, изокванта показывает максимальное значение выпуска для каждой отдельной комбинации факторов. В-третьих, являясь вогнутой кривой, она отражает действие закона убывающей отдачи (по мере увеличения одного фактора и относительном уменьшении другого, предельная производительность первого падает). В-четвертых, изокванты имеют отрицательный наклон, что свидетельствует о разнонаправленном изменении факторов (увеличение одного предполагает уменьшение другого). Очевидно, что по мере замены капитала трудом отдача от труда (т.е. производительность труда) снижается. Аналогичная ситуация возникает в случае замены труда капиталом. Это означает, что ?LЧMPL+ ?K Ч MPK= 0, 

где MPL - предельный продукт труда (изменение совокупного продукта фирмы в результате изменения количества труда на 1 ед.); 

MPK - предельный продукт капитала (изменение совокупного продукта фирмы в результате изменения использования капитала на 1 ед.). 

Возможности замещения  факторов предопределены особенностями  технологии. В зависимости от значений MRTSLK можно выделить несколько типов производственной функции.

K K 

0 L 0 L 

А) для функции  Q = aK + bL Б) для функции Q = min(L/C1; К/C2) 

Где Q- объем производства Где С-  

К- капитал С-  

L- труд 

а- константа 

b- константа 

K K 

0 L 0 L 

В) для функции  Q = AKA LB Г) для функции Q = e0(e1L -B e2K-B)*h/B

В случае идеальной  взаимозаменяемости факторов (А), когда  один из них может быть полностью  заменен другим, т.е. производство может  осуществляться при помощи одного фактора (продажа мороженного через автомат  или продавца), MRTSLK = -1, и будет постоянной во всех точках изокванты. Для производства с фиксированными пропорциями факторов - производственная функция «затраты - выпуск» (Б) - замещение одного фактора другим невозможно и MRTSLK = 0. Для производственной функции Кобба-Дугласа (В) MRTSLK = ?K/?L и характеризуется убывающей по мере движения вдоль изокванты степенью замещения. Для производственной функции с постоянной эластичностью замещения - CES - функции (Г) MRTSLK = -b.

Виды производственных функций. Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рассматривается как «черный ящик», на вход которого поступают ресурсы R1, ..., Rn, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Х1, ..., Хm . В качестве ресурсов (факторов производства) на макроуровне наиболее часто рассматриваются накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата - валовой выпуск Х (либо валовой внутренний продукт Y, либо национальный доход N). Во всех случаях результат коротко будем называть выпуском и обозначать X, хотя это может быть и валовой выпуск, и ВВП, и национальный доход. Остановимся несколько подробнее на обосновании состава фактора К. Накопленный прошлый труд проявляется в основных и оборотных, производственных и непроизводственных фондах. Выбор того или иного состава K определяется целью исследования, а также характером развития производственной и непроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот период в непроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизводственная сфера оказывает на производство примерно одинаковое влияние, это служит основанием напрямую учитывать в ПФ только производственные фонды. 

Но производственные фонды состоят из основных и оборотных  производственных фондов. Если соотношение  между этими составными частями  производственных фондов примерно постоянное в течение всего изучаемого периода, то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основные производственные фонды. Если изучаемый период достаточно продолжителен и однороден по влиянию на производство указанных выше составных частей, следует испробовать все варианты включения их в модель (от всех вместе до какого-то одного из них). Чтобы не вдаваться в детали, далее будем К называть фондами.

Таким образом, экономика замещается своей моделью  в форме нелинейной ПФ

Х= F(K, L) [2.1]

т.е. выпуск (продукции) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда).

Теперь рассмотрим экономическую интерпретацию основных характеристик ПФ на примере мультипликативной  функции (в частности, функции Кобба-Дугласа), некоторые другие ПФ, используемые в экономике, разберем в конце работы.

Производственная  функция Х= F(K, L) называется неоклассической, если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации:

F(0, L) = F(K, 0) = 0 

- при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно;

- с увеличением  ресурсов скорость роста выпуска  замедляется;

f(+, L) = F(K, +) = +

- при неограниченном  увеличении одного из ресурсов  выпуск неограниченно растет.

Мультипликативная ПФ задается выражением

a1>0 a2>0

где А -- коэффициент  нейтрального технического прогресса; а1, a2 -коэффициенты эластичности по труду и фондам.

Таким образом, ПФ обладает свойством 1, адекватным реальной экономике: при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно. Частным случаем этой функции служит функция Кобба-Дугласа

Где a1=a, a2=1-a [2.2]

Мультипликативная ПФ определяется по временному ряду выпусков и затрат ресурсов (Хt, Кt, Lt,), t= 1, ..., Т, где T- длина временного ряда, при этом предполагается, что имеет место Т соотношений

где t -- корректировочный случайный коэффициент, который приводит в соответствие фактический и расчетный выпуск и отражает флюктуацию результата под воздействием других факторов, Мt = 1. Поскольку в логарифмах эта функция линейна: