Нелинейная регрессия

 
 
 
 

Нелинейная  регрессия 

• Регрессии, линейные  по оцениваемым параметрам.
• Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
• Коэффициент эластичности.
• Корреляция для нелинейной регрессии.

 
 
 
 

• Регрессии, нелинейные  относительно включенных в анализ  объясняющих переменных, но линейные  по оцениваемым параметрам;
• Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

 

Различают  два класса нелинейных  регрессий:

 
 
 
 

• Регрессии, линейные по  
  оцениваемым параметрам.

 

Модели  приводятся к линейному  виду 

посредством  замены нелинейных  переменных 

Гиперболическая  модель

заменив     на  z получим . 
 

Если b>0, то при  увеличении х значения y замедленно уменьшаются, и при .

Если b<0, то при  увеличении х значения y замедленно возрастают, и при .

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Классический пример гиперболической модели – кривая Филлипса, характеризующая зависимость процента прироста заработной платы от уровня безработицы.

 
 
 
 

Параболическая  модель

заменяя переменные

получим двухфакторное  уравнение линейной

 регрессии:

• При b > 0 и с < 0 кривая симметрична относительно высшей точки, т. е. точки перелома кривой, изменяющей направление связи, а именно рост на падение.
• При b < 0 и с > 0 парабола второго порядка симметрична относительно своей низшей точки.

 

Пример параболической  корреляционой связи – 

зависимость заработной  платы работников физического

 труда от возраста.

 
 
 
 

2.  Регрессии, нелинейные  по оцениваемым  параметрам. 

Данный класс нелинейных  моделей подразделяется

на два типа:

• нелинейные модели внутренне линейные;
• нелинейные модели внутренне нелинейные.

 

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду.

Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.

 
 
 
 

Нелинейные  модели внутренне  линейные 

приводятся  к линейному виду  посредством

логарифмирования  уравнения и последующей 

заменой  переменных

Степенная  функция

Прологарифмируем  по основанию е:

Заменим                ,               ,              ,                 ,

получим:                                 параметры оцениваем МНК.

Произведем потенцирование:  

   Применяется при изучении зависимости эластичности

спроса от цены.

 
 
 
 

Показательная  модель 

Прологарифмировав, имеем:

Заменив  , , , ,

получим                                   . 

Применяя МНК, минимизируем                                         .

Система нормальных  уравнений составит: 
 
 

Практическое применение  экспоненты возможно, если

результативный признак  не имеет отрицательных

значений.  

 
 
 
 

3.Коэффициент  эластичности. 
 

Расчет  коэффициента эластичности  

Обычно рассчитывается  средний коэффициент

эластичности: 

Средний коэффициент  эластичности  показывает,

на сколько процентов  в среднем по совокупности

измениться результат y от своей средней величины

при изменении фактора x на 1 % от своего среднего

значения. 

 
 
 
 

Таблица 1. –  Коэффициенты эластичности для  ряда математических функций

 
 
 
 

4.  Корреляция для  нелинейной регрессии. 

Для нелинейной  зависимости определяется

индекс корреляции: 
 
 

                    , чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

 
 
 
 

☻Если нелинейное уравнение регрессии первого

вида при линеаризации  принимает форму

линейного уравнения  парной регрессии, то  

                     , где z - преобразованная величина

 признака-фактора, например, , .  

☻Иначе обстоит дело, когда преобразования уравнения

в линейную форму  связаны с зависимой переменной. 

Оценка существенности  индекса корреляции

проводится, так же  как и оценка надежности

коэффициента корреляции.