Необходимые и достаточные условия минимума функций нескольких переменных

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Февраля 2012 в 21:19, контрольная работа

Краткое описание

. Основной метод в теории оптимально управления был разработан в пятидесятые – шестидесятые годы советскими математиками – Л.С. Понтрягиным и его учениками. Это привело к тому, что теория экстремальных задач получила новый мощный толчок к дальнейшим исследованиям.
Цель– рассмотрение и описание функций одной и многих переменных, а также в рассмотрении методов, используемых при этом.

Содержание работы

Введение 3
1. Экстремумы функций одной переменной 4
1.1 Необходимое условие 4
1.2.1. Достаточное условие. Первый признак 6
1.2.2. Достаточное условие. Второй признак 7
1.3. Использование высших производных 9
2. Экстремумы функций трех переменных 10
2.1. Необходимое условие 11
2.2. Достаточное условие 12
3. Экстремумы функций многих переменных 14
3.1. Необходимое условие 14
3.2. Достаточное условие 17
Заключение 22
Литература

Содержимое работы - 1 файл

эмм готовая.docx

— 59.05 Кб (Скачать файл)

1.3.Использование высших производных.

В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай.

Теорема 3.2:Пусть функция f:U(x ) R, определенная в окрестности U(x ) точки х , имеем в х производные до порядка n включительно (n 1).

Если  f’(x )=…=f (n-1) (x )=0 и f (n) (x )=0 , то при n нечетном в х экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f (n) (x ) 0 , и строгий локальный максимум, если f (n) (x ).

Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора

f(x)-f(x )=f (n) (x )(x-x + (x)(x-x (3.2)

где (x) 0 при x x ,будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде

f(x)-f(x )=(f (n) (x )+ (x))(x-x (3.3)

Поскольку f (n) (x )=0,а (x) 0 при x x , сумма имеет знак f (x ),когда х достаточно близок к х . Если n нечетно, то при переходе через х скобка (х-х меняет знак и тогда изменяется знак всей правой , а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет.

Если  n четно, то (x-x 0 при x=x и,следовательно, а малой окрестности точки х знак разности f(x)-f(x ), как видно из равенства (3.3), совпадает со знаком f (n) (x ) : 

  • пусть f (n) (x ),тогда в окрестности точки х f(x) f(x ), т. е. в точке х – локальный минимум; 
  • пусть f (n) (x ) 0,тогда f(x) f(x ) ,т. е. в точке х локальный минимум. ч.т.д.

2.Экстремумы функций трех переменных.

2.1.Необходимые условия экстремума.  

Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x ,y ,z ) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция v=f(x,y,z) в точке (x ,y ,z ) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x - ,x + , y - ,y + ,z - ,z + )

что бы для всех точек этой окрестности  выполнялось неравенство

f(x,y,z) f(x ,y ,z )

Если  эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x ,y ,z ) выполнялось строгое неравенство

f(x,y,z) f(x ,y ,z )

то  говорят, что в точке (x ,y ,z ) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин –  экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой  точке (x ,y ,z ) имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные

’(x ,y ,z ), f ’(x ,y ,z ) ,f ’(x ,y ,z )

то  все эти частные производные  равны нулю, так что обращение  в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим y= y ,z= z сохраняя х переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной х :

v=f(x, y ,z )

Так как мы предположили, что в точке (x ,y ,z ) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x - ,x + ) точки x=x , необходимо должно выполняться неравенство

f(x, y ,z ) f(x ,y ,z )

так что упомянутая выше функция одной  переменной в точке будет иметь  максимум, а отсюда по теореме Ферма  следует, что

’(x ,y ,z )=0

Таким образом можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, “подозрительными” на экстремум  являются те точки, в которых частные  производные первого порядка  все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений

’(x,y,z)=0

’(x,y,z)=0 (4.2)

’(x,y,z)=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.   
 

2.2.Достаточное условие экстремума.

Как и в случае функции одной переменной, в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума.Таким образом, встает вопрос об достаточных для существования (или отсутствия) экстремума в стационарной точке, то есть о том исследоовании, которому эта точка должна быть дополнительно подвергнута.

Предположим, что функция v=f(x,y,z) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой точки (x ,y ,z ), которая является стационарной, т.е. удовлетворяет условиям

’(x ,y ,z )=0,f ’(,y ,z )=0 ,f ’(x ,y ,z )=0

Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет в точке (x ,y ,z ) экстремум или нет, естественно обратимся к рассмотрению разности

= f(x,y,z)- f(x ,y ,z )

Разложим  ее по формуле Тейлора,

= { f ’’ x +f ’’ x +…+f ’’ x +2f x1x2 ’’ x + +2f x1x3 ’’ x +…+2f xn-1xn ’’ x n-1 }= f xixj ’’ x j

где x= x -x ; производные все вычеслены в некоторой точке

(x +0 x , x +0 x ,…, x +0 x ) (0 0 1)

Введём  и здесь значения

xixj ’’ (x ,x ,…,x )=a ik (i,k=1,2,…,n)

так что

xixj ’’ (x +0 x , x +0 x ,…, x +0 x )= a ik ik

и

ik 0 при x 0,…, x 0

Теперь  интеесующее нас выражение можно написать в виде:

= { a ik ik }

На  первом месте в скобках здесь  стоит второй дифференциал функции  f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x ,…, x . От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.

В высшей алгебре квадратичную форму

ik (a ik = a ki )

от  переменных y ,…,y называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.

Необходимое и достаточное условие для  того, чтобы форма (4.5) была определенной и положительной принадлежит  Сильвестеру (J.J.Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:

11 12 11 12 13

11 0, a 21 22 , a 21 22 23 0,

31 32 33

Так как определенная отрицательная  форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).

11 12 11 12 13

11 0, a 21 22 21 22 23 0

31 32 33

Следовательно, чтобы исследовать точку М(x ,y ,z ) на экстремум , надо исследовать квадратичную форму

Сформулируем  полученный результат в виде теоремы.

Теорема : Пусть в некоторой области, содержащей точку М(x ,y ,z ), функция f(x,y,z) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно; пусть кроме того, точка М(x ,y ,z ) является критической точкой функции f(x,y,z), т.е. f(x ,y ,z ) f(x ,y ,z ) f(x ,y ,z  

3.Экстремумы функций многих переменных.

3.1.Необходимые условия экстремума.

Пусть функция u=f(x ,x ,…,x ) определена в области D и (x ,x ,…,x ) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция u=f(x ,x ,…,x ) в точке (x ,x ,…,x ) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x 0 )

что бы для всех точек этой окрестности  выполнялось неравенство

f(x ,x ,…,x ) f(x ,x ,…,x )

Если  эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x ,x ,…,x ) выполнялось строгое неравенство

f(x ,x ,…,x ) f(x ,x ,…,x )

то  говорят, что в точке (x ,x ,…,x ) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин –  экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой  точке (x ,x ,…,x ) имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные

x1 ’(x ,x ,…,x ) ,…, f ’ xn (x ,x ,…,x )

то  все эти частные производные  равны нулю, так что обращение  в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим x =x ,…,x = x сохраняя x переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной x :

Информация о работе Необходимые и достаточные условия минимума функций нескольких переменных