Анализ колебаний упругой системы с двумя степенями свободы

     Нижегородский Государственный

     Архитектурно-Строительный Университет 
 
 
 
 
 
 

     Кафедра прикладной математики 
 
 
 
 
 
 

     Расчетно-графическая  работа

     «Анализ колебаний упругой системы с  двумя степенями свободы» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Вариант 3 

   Выполнил студент  группы 3/08-1………………………………….Бажуков А.Н.

 

   Проверил преподаватель……………………………………………..Шестернев А.М. 
 
 
 
 
 
 
 

     Нижний  Новгород

     2011 год

      1. Задана двух массовая система, в которой совершаются продольные движения масс.

На рисунке  приведена схема упругой системы  в соответствии с заданными значениями параметров.

В качестве координат системы выберем вертикальные смещения точечных масс от равновесного состояния х₁(t), x₂(t).  

2. Составим систему дифференциальных уравнений динамики для модели системы с 2-мя степенями свобод, задаваемыми координатами продольных смещений   I=1 или 2.

     Уравнения движения для малых продольных колебаний масс будут следующие:

    или в нормальном виде, т.е. в форме разрешенной относительно старших производных

    Запишем уравнения модели 4-го порядка в индексной форме:

    Начальные условия на положения и скорости движения следующие:

    В векторной форме уравнения модели запишутся таким образом:

;       (1)

;      (2)

; ;  ; 

 

- матрица жёсткости системы;

    Общее решение уравнений системы состоит из двух частей

    собственных колебаний и вынужденных колебаний   

   3. Ищем собственные (свободные) колебания системы в форме:

     

;

    Подставляя его в соответствующие однородные  уравнения модели получим:

     

     (3)

    для наличия ненулевых решений необходимо выполнение условия

,   (4)

    называемого  характеристически уравнением системы.

     Решив это биквадратное уравнение   получим чисто мнимые корни:

, где собственные частоты системы.

     Собственные  вектора, соответствующие собственным  частотам  .находим из решения уравнений (3)

; , где

 

     Коэффициенты жесткости равны:

                  

            

     

    тогда собственные частоты равны и

    а собственные вектора получаем:

                         

    Решение для собственных колебаний имеет вид:

     Запишем общее решение (однородной) системы уравнений модели  для собственных колебаний по координатно:

    или через амплитуды и начальные фазы:

     Неизвестые константы С₁, С₂ , С₃ , С₄  или выражаемые через них неизвестные амплитуды А₁ А₂ и начальные фазы , собственных колебаний определяются из начальных условий

     4. Частное решение для вынужденных колебаний системы находим в виде правой части:

    Подставляя это решение в неоднородные уравнения получим:

    Ненулевое решение этих уравнений для неизвестных констант таково:

    где главный определитель совпадает по виду с характеристическим уравнением

    Частоты внешних сил при которых наблюдаются неограниченное нарастание амплитуд вынужденных колебаний называются резонансными частотами.

    Условием резонанса является  , из чего следует, что собственные частоты в системах без трения одновременно  будут и резонансными.

   Частота внешней силы называется антирезонансной, если амплитуды вынужденных колебаний равны нулю т.е. В₁=0 или В₂=0

               

                

        Построим Амплитудно-частотные характеристики вынужденных колебаний системы 

 

 Строим по точкам графики АЧХ

       
 

5. Определим полные колебания в системе как сумму собственных и вынужденных колебаний

в случае частоты внешней вынуждающей силы

     Из начальных  условий определим неизвестные  константы С₁, С₂ , С₃ , С₄ 

      

    

    Решение этой неоднородной системы линейных уравнений по правилу Крамера будет:

     Амплитуды и начальные фазы собственных колебаний вычислим по формулам

     Для W=0,75 получим В₁=-0,833, В₂=-0,201, С₁=-0,393; С₂=5,18, С₃=0,4, С₄=-0,01  (или А₁=5,2;   А₂=0,4;   j₁=0,21; j₂= 0,025)

      И тогда полные колебания в рассматриваемой системе будут следующими:

Построим эти  колебания  в упругой системе на плоскости (х₁---t) и ( х_2---t) во временном интервале, соответствующем двум максимальным периодам колебаний в системе: