Эконометрика

 

    Теперь  вычисляем коэффициент автокорреляции второго порядка:

     .

    Аналогично  находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу. 
 

    Автокорреляционная  функция:

Лаг	Коэффициент автокорреляции уровней
1	0,195
2	–0,537
3	0,143
4	0,977
5	0,140
6	–0,682

    Анализ  автокорреляционной функции и графика  исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала (наиболее значительным оказался коэффициент автокорреляции 4-го порядка).

    Построение  аддитивной модели временного ряда.

    Общий вид аддитивной модели следующий:

     .

    Эта модель предполагает, что каждый уровень  временного ряда может быть представлен  как сумма трендовой ( ), сезонной ( ) и случайной ( ) компонент.

    Построение  аддитивной модели сводится к расчету  значений , и для каждого уровня временного ряда.

    Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты .
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных ( ) в аддитивной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней ( ) и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений ( ).

    Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

    1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно  за каждые четыре квартала  со сдвигом на один момент  времени и определим условные  годовые объемы потребления электроэнергии.

    1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

    1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

№ квартала,	Потребление электроэнергии,	Итого за четыре квартала	Скользящая  средняя за четыре квартала	Центрированная  скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	5,5	–	–	–	–
2	4,8	24,40	6,10	–	–
3	5,1	26,00	6,50	6,30	-1,20
4	9,0	26,10	6,53	6,51	2,49
5	7,1	27,10	6,78	6,65	0,45
6	4,9	28,10	7,03	6,90	-2,00
7	6,1	29,30	7,33	7,18	-1,08
8	10,0	29,80	7,45	7,39	2,61
9	8,3	30,10	7,53	7,49	0,81
10	5,4	31,00	7,75	7,64	-2,24
11	6,4	31,70	7,93	7,84	-1,44
12	10,9	32,90	8,23	8,08	2,83
13	9,0	34,00	8,50	8,36	0,64
14	6,6	34,30	8,58	8,54	-1,94
15	7,5	–	–	–	–
16	11,2	–	–	–	–

 

    Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты . Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты .

 

    

Показатели	Год	№ квартала,
		I	II	III	IV
	1	–	–	–1,20	2,49
	2	0,45	–2,00	–1,08	2,61
	3	0,81	–2,24	–1,44	2,83
	4	0,64	–1,94	–	–
Всего за -й квартал		1,90	–6,18	–3,72	7,93
Средняя оценка сезонной компоненты для  -го квартала,		0,63	–2,06	–1,24	2,64
Скорректированная сезонная компонента,		0,64	–2,05	–1,23	2,65

 

    В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

    Для данной модели имеем: .

    Корректирующий  коэффициент: .

    Рассчитываем  скорректированные значения сезонной компоненты ( ) и заносим полученные данные в таблицу. 

    Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины . Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

1	2	3	4	5	6	7	8
1	5,5	0,64	4,86	5,82	6,46	-0,96	0,9216
2	4,8	-2,05	6,85	6,02	3,97	0,83	0,6889
3	5,1	-1,23	6,33	6,23	5,00	0,10	0,0100
4	9,0	2,65	6,35	6,43	9,08	-0,08	0,0064
5	7,1	0,64	6,46	6,64	7,28	-0,18	0,0324
6	4,9	-2,05	6,95	6,85	4,80	0,10	0,0100
7	6,1	-1,23	7,33	7,05	5,82	0,28	0,0784
8	10,0	2,65	7,35	7,26	9,91	0,09	0,0081
9	8,3	0,64	7,66	7,46	8,10	0,20	0,0400
10	5,4	-2,05	7,45	7,67	5,62	-0,22	0,0484
11	6,4	-1,23	7,63	7,87	6,64	-0,24	0,0576
12	10,9	2,65	8,25	8,08	10,73	0,17	0,0289
13	9,0	0,64	8,36	8,29	8,93	0,07	0,0049
14	6,6	-2,05	8,65	8,49	6,44	0,16	0,0256
15	7,5	-1,23	8,73	8,70	7,47	0,03	0,0009
16	11,2	2,65	8,55	8,90	11,55	-0,35	0,1225

 

    Шаг 4. Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда ( ) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие: 

    

    Подставляя  в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени. 

     Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

     На  одном графике отложим фактические  значения уровней временного ряда и  теоретические, полученные по аддитивной модели.

    Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.

     .

    Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней  временного ряда по кварталам за 4 года.

    3. Прогнозирование по аддитивной модели.

    Прогнозное  значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

    

    Получим

    

    

    Значения  сезонных компонент за соответствующие  кварталы равны: и . Таким образом,

    

    Т.е. в первые два квартала следующего года следует ожидать потребления  электроэнергии в объеме 9,75 и 7,27 единиц соответственно.