Эконометрика

Уральский социально-экономический институт 
Академии труда и социальных отношений

Кафедра прикладной информатики

Контрольная работа

Эконометрика

Челябинск

 2010

Эконометрика

Варианты  задачи на тему «Линейная  парная регрессия»

     Имеются данные о величине национального  продукта Y (у.е.) в зависимости от инвестиций X (у.е.)

Линейная  парная регрессия

     Предполагается, что генеральное уравнение регрессии  – линейное:

Для исходных данных, приведенных в задаче, требуется

1. Построить поле корреляции (на отдельном листе), сформулировать гипотезу о форме связи и построить  эмпирическую линию регрессии (линию тренда).
2. Найти оценки b₀ и b₁ параметров модели парной линейной регрессии .
3. С надежностью 0,95 проверить значимость оценок b₀ и b₁ теоретических коэффициентов регрессии с помощью t-статистики Стьюдента и сделать соответствующие выводы о значимости этих оценок.
4. С надежностью 0,95 определить интервальные  оценки теоретических коэффициентов регрессии.
5. Определить коэффициент детерминации R² и коэффициент корреляции r_xy сделать соответствующие выводы о качестве  уравнения регрессии.
6. Проверить при уровне значимости 0,05 значимость уравнения регрессии с помощью F статистики Фишера и сделать соответствующие выводы о значимости уравнения регрессии.
7. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения регрессии.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата Yp, если прогнозное значение фактора Xр увеличится на 15% от его среднего уровня.

9. С уровнем значимости 0,05 определить интервальную оценку условного математического  ожидания Уp для вычисленного Хp .
10. С надежностью 0,95  определить доверительный интервал значения Уp для вычисленного значения Хp.
11. Найдите основные регрессионные характеристики используя функцию Регрессия (У,Х) из надстройки "Анализ данных". Уровень надежности установить 95%. Запомните ( или подпишите) основные характеристики регрессии.

 

 

Задача

     В качестве примера рассмотрим зависимость  между сменной добычей угля одного рабочего У (тонн)] и мощностью Х  пласта (в метрах) по данным, приведенным  в таблице 1

Таблица 1

     Для исходных данных, приведенных в таблице 1, требуется:

1. Построить поле корреляции (на отдельном листе), сформулировать гипотезу о форме связи и построить  эмпирическую линию регрессии (линию тренда).
2. Найти оценки b₀ и b₁ параметров модели парной линейной регрессии .
3. С надежностью 0,95 проверить значимость оценок b₀ и b₁ теоретических коэффициентов регрессии с помощью t-статистики Стьюдента и сделать соответствующие выводы о значимости этих оценок.
4. С надежностью 0,95 определить интервальные  оценки теоретических коэффициентов регрессии и сделать соответствующие выводы о значимости этих оценок.
5. Определить коэффициент детерминации R² и коэффициент корреляции r_xy сделать соответствующие выводы о качестве  уравнения регрессии.
6. Проверить при уровне значимости 0,05 значимость уравнения регрессии с помощью F статистики Фишера и сделать соответствующие выводы о значимости уравнения регрессии.
7. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата Yp, если прогнозное значение фактора Xр увеличится на 10% от его среднего уровня.

9. С уровнем значимости 0,05 определить интервальную оценку условного математического ожидания Уp для вычисленного Хp .
10. С надежностью 0,95  определить доверительный интервал значения Уp для вычисленного значения Хp.
11. Найдите основные регрессионные характеристики используя функцию Регрессия (У,Х) из надстройки "Анализ данных". Уровень надежности установить 95%. Запомните ( или подпишите) основные характеристики регрессии.

Решение

     (Порядок вычислений с использованием MS Exel: Вычисляем параметры, которые приведены в таблице 2. В таблице 2 первые три столбца включают исходные данные. В четвертом, пятом и шестом столбцах выполняются операции умножения столбцов X×Y, возведения значений столбца X и Y в квадрат. Для каждого из столбцов с номерами 2, 3, 4, 5 и 6 подсчитывается их суммы и средние значения. Результаты расчетов величин приведены в столбце 7. Величина остаточной (необъяснимой) ошибки вычисляется по формуле и приведена в столбце 8. В столбцах 10 и 11, 12 и 13, 14 и 15 приведены значения центрированных величин, квадраты центрированных величин : 
    . 
Столбец 16 используется для вычисления средней ошибки аппроксимации А. 
Суммы и средние значения  записываются в строки 11 и 12.)

     Решение.

1. Построим поле корреляции (на отдельном листе) и сформулируем гипотезу о форме связи, предполагая, что генеральное уравнение регрессии – линейное:

2. Найдем  оценки b₀ и b₁ параметров модели парной линейной регрессии по следующим формулам:

Тогда уравнение  эмпирической линии регрессии (линии  тренда) имеет вид:

y = 1,6254x + 0,7199

3. С надежностью 0,95 проверим значимость оценок b₀ и b₁ теоретических коэффициентов регрессии с помощью t-статистики Стьюдента и сделаем соответствующие выводы о значимости этих оценок.

     Для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы к=n-2=10-2=8 критерий Стьюдента (см таблица распределения Стьюдента ) равен

     Дисперсии средние квадратичные отклонения коэффициентов b₀ и b₁  уравнения регрессии определим из равенств с использованием результатов табл. 2.

Для определения статистической значимости коэффициентов b₀ и b₁ найдем t – статистики Стьюдента:

     Сравнение расчетных и табличных величин  критерия Стьюдента показывает, что  или и или 25,4774>2,306, т.е.с надежностью 0,95 оценка b₀ теоретического коэффициента регрессии b₀ статистически незначима, оценка b₁ теоретического коэффициента регрессии b₁ статистически значима.

4. С надежностью 0,95 определим интервальные оценки теоретических коэффициентов регрессии и сделаем соответствующие выводы о значимости этих оценок.

     Доверительные интервалы для этих коэффициентов равны:

     

     Подставив числовые значения, значения коэффициентов b₀ и b₁, их средние квадратичные отклонения и значение для t имеем:

     

     Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b₀ статистически незначима.

     

     Так как точка 0 (ноль) не лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b₁ статистически значима.

5. Определим коэффициент детерминации R² и коэффициент корреляции r_xy и сделаем соответствующие выводы о качестве уравнения регрессии.

     Определяем дисперсии и средние квадратичные отклонения независимого X и результативного Y факторов:

     Тесноту связи между переменными X и Y определяем через ковариацию и коэффициент корреляции.

     Величина  r_xy=0,9939 , близка к 1, что характеризует тесную линейную связь между независимым и результативным признаками.

     Для определения коэффициента детерминации воспользуемся результатами расчетов таблицы 2.

     По  таблице 2 найдем:

• общую ошибку (столбец 13):

     

• ошибку  объясняемую регрессией (столбец 15)

     

• остаточную  ошибку (столбец 9)

     

     Причем имеем TSS=RSS+ESS

     Тогда коэффициент детерминации равен

     

     Полученная  величина коэффициента детерминации свидетельствует  о том, что необъясненная ошибка составляет менее 2 процентов от общей  ошибки.

6. Проверим при уровне значимости 0,05 значимость уравнения регрессии с помощью F статистики Фишера и сделаем соответствующие выводы о значимости уравнения регрессии.

Статистика  Фишера вычисляется по формуле: .

Имеем F = (261,28/3,2203)·8=649,0826.