Контрольные задания по «Планирование и организация эксперимента»

 

Вспомогательная таблица для расчета дисперсии s²{y}

(опыты  на нулевом уровне)

 

 

ПРИМЕР

 

     Для реализации многофакторной регрессионной  модели Ra=f(h_з, s₀, n, Raи, Smи) процесса минералокерамического выглаживания, отражающей количественные связи между натягом (h_з), подачей (s₀), частотой вращения шпинделя (n), исходными параметрами качества поверхностного слоя Raи (среднее арифметическое отклонение профиля, исходное), Smи (средний шаг неровностей профиля, исходный) и параметром шероховатости -  Ra, был спланирован и поставлен эксперимент, учитывающий результаты предварительных поисковых экспериментов.

      На  первом этапе исследования была реализована  полуреплика 2^5-1 с определяющим контрастом 1=х₁х₂х₃х₄х₅. Интервалы варьирования принимались, исходя из реальных пределов колебания значений факторов, определенных в результате предварительных поисковых экспериментов.

      Факторы, уровни и интервалы варьирования факторов приведены в таблице 1. Матрица плана эксперимента и результаты измерений Ra (мкм) представлены в таблице 2.

Таблица 1

Уровни  и интервалы варьирования факторов

     Таблица 2

План  эксперимента

     Все формулы, используемые в этом примере, взяты  из работы [1].

      Коэффициенты  уравнения регрессии определяем по формулам 

,       (1) 

,      (2) 

,      (3) 

где i = 1..k – номер фактора, j – номер опыта (строки в матрице планирования), N – количество опытов.

       

      Дисперсию s²{y} определяем по шести параллельным опытам в центре плана, т.е. по результатам опытов, выполненных при нахождении факторов на основных уровнях (таблица 3, формула 4): s²{y}=0,00011. 

                Таблица 3

Вспомогательная таблица для расчета дисперсии s²{y}

 

s²{y}= ,     (4) 

где n₀ - число параллельных опытов в центре плана; у_u - значение функции отклика в u-м опыте; <y> - среднее арифметическое значение функции отклика в n₀ опытах.

    Средняя квадратичная ошибка в определении  коэффициентов уравнения регрессии для  y   оказалась следующей (формула 5):

S{b_i}= .      (5) 

S{b_i}= =0,0026.     

     Доверительный интервал для коэффициентов уравнения  регрессии определяем по формуле 6 (табличное  значение критерия Стьюдента при 5 % - м уровне значимости и числе опытов n₀=6: t=2,57): 

∆b_i=±t∙S{b_i} ,      (6) 

где t – табличное значение критерия Стьюдента при числе опытов в центре плана - n₀ (приложение 1). 

∆b_i=±2,57∙0,0026= ±0,0067. 

    В связи с тем, что коэффициенты b_5, b_12, b_24, b_35, по абсолютной величине меньше доверительного интервала, их можно признать статистически незначимыми и исключить из уравнения регрессии.

       Разность b₀-<y>=0,0033 по абсолютной величине меньше ошибки опыта s{y}=0,01, следовательно, коэффициенты при квадратичных членах значительно не отличаются от нуля, поэтому исследуемая зависимость с достаточной точностью может быть аппроксимирована неполной квадратичной моделью и не требуется переходить к квадратичной модели (хотя наблюдается высокая значимость коэффициентов при парных взаимодействиях).

    Для проверки адекватности уравнения регрессии  вычисляем дисперсию S²_ад адекватности (при числе значимых коэффициентов уравнения регрессии z=12) , по формуле 7: 

S²_ад= .     (7) 

S²_ад=0,00012. 

    Адекватность уравнения регрессии проверяем по F-критерию. Находим расчетное значение F-критерия (формула 8): 

F_р= .       (8) 

F_р= =1,14. 

    Табличное значение F-критерия при 5 %-м уровне значимости (при большей дисперсии - S²_ад с числом степеней свободы f=N-(k+1)=16-(5+1)=10; меньшей дисперсии - s²{y} с числом степеней свободы f=n₀-1=6-1=5) равно, примерно, 4,74 (приложение 2), и т.к. F_р< F, то модель адекватна. 
 

 

     Приложение 1

Значения  критерия Стьюдента (t-критерия) при уровне значимости

α=0,05 для различного числа опытов (n₀)