Моделирование одномерных временных рядов

Содержание 

Введение………………………………………………………………..……стр. 2

1. Основные элементы временного ряда ..…………………….…..…..стр. 3
2. Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры…….………………………………………………….…...…стр. 5
3. Моделирование тенденции временного ряда..………… ….….…...стр. 9
4. Моделирование сезонных и циклических колебаний……….…...стр. 11

Заключение  …………………………………………………………..……стр. 14

Список  литературы ……………………………………………………... стр. 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение

     Почти в каждой области встречаются  явления, которые интересно и  важно изучать в их развитии и  изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или  иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т. д. Все они  изменяются во времени. С течением времени  изменяются деловая активность, режим  протекания того или иного производственного  процесса, глубина сна человека, восприятие телевизионной программы. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода в течение некоторого периода времени представляют собой временной ряд.

     Совокупность  существующих методов анализа таких  рядов наблюдений называется анализом временных рядов.

     Основной  чертой, выделяющей анализ временных  рядов среди других видов статистического  анализа, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения. Если во многих задачах наблюдения статистически независимы, то во временных  рядах они, как правило, зависимы, и характер этой зависимости может  определяться положением наблюдений в  последовательности. Природа ряда и  структура порождающего ряд процесса могут предопределять порядок образования  последовательности. 
 
 
 
 
 
 

1. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВРЕМЕННОГО РЯДА

       Чтобы построить эконометрическую  модель, нужно использовать два  типа исходных данных:

    - данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени;

    - данные, характеризующие один объект  за ряд последовательных моментов (периодов) времени;

       Модели, построенные по данным  первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временного ряда.

       Временной ряд – это совокупность значений, какого – либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под взаимодействием большого числа факторов, которые подразделяются условно на три группы:

- факторы,  формирующие тенденцию ряда;

- факторы,  формирующие циклические колебания  ряда;

- случайные  факторы;

    В различных ситуациях в изучаемом  явлении или процессе этих факторов зависимость уровней рядов может  принимать различные формы. Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Эти факторы, взятые в отдельности, могут разнонаправлено воздействовать на исследываемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастную или убывающую тенденцию. Рис. 1

                 
 
 
 
 

Yt  
 

0                                                          t

Рис. 1.  Возрастающая тенденция 

      Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, так как экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний). При наличии данных за длительный промежуток времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а так же с фазой -  бизнес цикла в которой находиться экономика страны. Рис. 2

        Yt

             0                                                                                        t

Рис. 2. Сезонная компонента 

    Некоторые временные ряды не содержат тенденции  и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и  некоторой (положительной или отрицательной) компоненты. Рис. 3

         Yt

         0                                                                                                                  t

 

Рис. 3. Случайная компонента 

      Хотя, реальные данные не следуют целиком и полностью на каких – либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компонента. Каждый их уровень формируется под  воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

         Большинство случаев временного  ряда можно представить как  сумму или произведение трендовой,  циклической или случайной компонент.  Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компотент, называется мультипликативной моделью временного ряда.

         Из этого следует, что основная задача эконометрического исследования временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязей двух и более временных рядов.

АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА И ВЫЯВЛЕНИЕ ЕГО СТРУКТУРЫ

      При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

      Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Формула для расчета  коэффициента автокорреляции имеет вид:  

r₁ = ,                                                                (рис.1)

где  

;  .

    Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так  как он измеряет зависимость между  соседними уровнями ряда t и .

    Аналогично  можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле: 

                                (рис.2)                

где

;  .

      Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшится. Можно считать, что целесообразным будет для обеспечения статистической доверенности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше (n/4)  ͭ.

    Существует  два свойства коэффициента автокорреляции:

1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего ряда . Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно о наличии линейной или близко к линейной тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющую сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях рядах. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

       Последовательность коэффициентов  автокорреляции уровней первого,  второго и т.д. порядков называют  автокорреляционной функцией временного  ряда.  График зависимости ее  значений от величины лага (порядка  коэффициента автокорреляции) называется  коррелограммой.

    Анализ  автокорреляционной функции и коррелограммой позволяет определить лаг, при котором  автокорреляция наиболее высокая, а  следовательно, и лаг, при котором  можно связать между текущим  и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, то есть при помощи анализа  автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

    Если  наиболее высоким оказался коэффициент  автокорреляции первого порядка, значит, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка  t, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в t моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляций уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

    Рассмотрим  пример: пусть имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за 12 кварталов. 

     Потребление электроэнергии жителями региона, млн. кВт/ч