Контрольная работа по "Математике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 26 Марта 2012 в 10:43, контрольная работа

Краткое описание

1. Найти неопределённый интеграл.
2. Решить дифференциальное уравнение.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
4. Используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена, вычислить с точностью до 0,001 определенный интеграл.

Содержимое работы - 1 файл

Контрольная работа_№2.doc

— 183.00 Кб (Скачать файл)


Контрольная работа № 2

 

1.       Найти неопределённый интеграл:

Введем и перейдем к интегралу от рациональной функции:

 

Возьмем данный интеграл:

 

 

Вычислить определенные интегралы:

 

2.

Данный интеграл возьмем интегрированием по частям:

Теперь вычисляем определённый интеграл:

3.

Введем и перейдем к интегралу от иррациональной функции:

 

 

 

 

Введем   и перейдем к интегралу от рациональной функции:

 

Итак:

Далее вычисляем определённый интеграл:

 

 

4. Решить дифференциальное уравнение:

 

 

Данное уравнение является однородным, так как оно может быть

представлено в виде: , где:  

 

Введем переменную z=y/x и получим уравнение с разделяющимися переменными.

Так как  , то , в результате:

 

 

 

 

Теперь переходим назад к переменной y и получаем, что решением уравнения является неявная функция:

 

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

(фигура расположена в первой четверти).

 

Перепишем условие:

Найдем абсциссы точек пересечения линий:

X1=2

 

x2=3

Построим чертеж:

 

 

Из этого схематического чертежа видно, что площадь искомой фигуры ограничена

двумя параболами, смещенными на 2 друг относительно друга и прямой.

 

 

Найдем площадь следующим образом:

 

6. Экспериментальные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:

xi

20

30

40

50

60

yi

25

28

34

36

45

 

В результате их выравнивания получена функция:

Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y=ax+b (найти параметры a и b). Выяснить какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные.  Сделать чертеж.

 

Найдем необходимые для расчетов суммы

 

Промежуточные вычисления оформим в виде вспомогательной таблицы:

20

25

500

400

30

28

840

900

40

34

1360

1600

50

36

1800

2500

60

45

2700

3600

∑200

168

7200

9000

Примечание: Искомые суммы содержатся в последней строке таблицы.

 

Составим систему нормальных уравнений:

 

Так как n=5, , имеем:

 

Решаем эту систему и находим коэффициенты a и b:

 

Итак, линейная зависимость для аппроксимации данных:

y=0,48x+14,4

 

Сведем все данные в таблицу. Вторая строчка –экспериментальные, 3-я – аппроксимированные линейной зависимостью, четвертая – аппроксимированные кубической зависимостью.

 

xi

20

30

40

50

60

yi

25

28

34

36

45

24

28,8

33,6

38,4

43,2

yкуб

25

28,7

33,2

38,5

44,6

 

Соответствующие кривые построены на рисунке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена, вычислить с точностью до 0,001 определенный интеграл.

 

 

Стандартное разложение для функции в ряд Маклорена:

 

После замены x на Для нашей подынтегральной функции имеем:

197229605 1/4

-98639 1/6

 

 

 

Возьмем интеграл:

 

 

Член мы отбросили, так как он <0,001 (по теореме Лейбница)

6

 



Информация о работе Контрольная работа по "Математике"