Моделирование и анализ установившихся режимов роботы электрических систем

      Представим уравнение (11) в полярных координатах.  Для этого комплексы неизвестных напряжений запишем в соответствии с формулой Эйлера:

                           .

  Здесь   U_i – модуль, - фаза напряжения .

  

                                    (14)

         

                                                 Подставим (14) в (11) учетом того, что

                              

                          (15)

         Преобразуем уравнение (15):  раскрываем  скобки, группируем, разделя-ем действительные  и мнимые части, меняем местами    

                                      (16)

              Это уравнение установившегося режима в форме баланса мощности,

     записанное в полярных координатах. Неизвестные величины в нём - модули напряжений и фазы напряжений .

         Это два действительных уравнения, записанные для одного i-го узла   схемы. Определяют  баланс активной и реактивной мощности в нем.

  Существуют  и другие формы записи уравнений установившегося режима. 
 
 

  Пример:

  

Составить уравнения в форме  баланса токов для каждого из узлов сети

       

  Составим  уравнение для первого узла.

    Для него   i=1;  j=0,2,3;   n=3;

       

                                - собственная проводимость 1 – го узла.

  Для  узла 0:    i=0;  j=1;  n=1;

                                  

  Для  узла 2:    i=2;  j=1,3;  n=2;

                                   

  Для  узла 3:     i=3;  j=1,2;   n=2;

                                    

  Уравнения в форме баланса мощностей можно получить, если умножить каждое из полученных уравнений на сопряженный комплекс соответствующе-го напряжения. 

  Запишем уравнение для 1 – го узла в прямоугольных координатах: 

    
Для узлов  2 и 3 уравнения в прямоугольных  координатах  записать самостоятельно. 

Уравнения для 1-го узла в полярных координатах:

  i=1;  j=0,2,3;  n=3;

Используем  формулу  (16):

Самостоятельно записать такие  уравнения для узлов 2 и 3.

Матричная форма записи уравнений  установившегося  режима

 
 

  Уравнения установившегося режима в форме баланса токов:

                                    ,                                       (1)

где  - напряжение в рассматриваемом i – м узле и напряжения в смежных узлах j . Это неизвестные величины;

        y_ij – взаимная проводимость узлов

                            ;

          y_ij – собственная проводимость   i – го узла

                                                                               (2)

 
 
 

                                  у_і0 
 
 
 

   - поперечная проводимость участков  подходящих к i – у узлу:

                                                                                  (3)

  Поперечные проводимости транс-  Поперечная проводимость

формирующих участков                                 линии 

    y_i0 – собственная проводимость  устройств, подключенных непосредст-венно в i – м узле;

        - заданные мощность или ток.

      Уравнение (1) сформировано на основе метода узловых потенциалов, за-писано для одного і – го узла сети. Для схемы, состоящий из n узлов записы-вается  n таких уравнений с n  комплексными неизвестными. 

Запишем систему уравнений вида (1) для абстрактной схемы электрической сети, состоящей из n узлов:

 
 
 
 
 

                                               (4) 
 
 
 
 
 

      Эта система уравнений описывает  режим роботы ЭС в целом.  Запишем эту систему в матричной форме: 

                (5) 

   
С учетом обозначений система (5) примет вид:

                                             .                                        (6) 

Здесь    Y – матрица коэффициентов при неизвестных – матрица собственных

                   и взаимных проводимостей (матрица проводимостей);

           - вектор неизвестных – вектор напряжений;

           D – диагональная матрица, на главной диагонали которой расположены

                  величины, обратные сопряженному  комплексу напряжений в узлах.

                 Остальные элементы матрицы - нули;

            - вектор сопряженных комплексов заданных мощностей в узлах;

              - вектор заданных токов в узлах. 

 Матрица собственных и взаимных проводимостей Y

      Ее элементами являются проводимости  узлов и участков. На главной  диагонали расположены собственные проводимости узлов, определяемые по формуле (2). Вне главной диагонали - взаимные проводимости узлов, взятые с обратным знаком. Матрица квадратная, симметричная.

      Если узлы сети соединены между  собой, то их взаимная проводимость  отлична от нуля ( Y_ij = 1/Z_ij). Если узлы между собой не связаны, то Y_ij = 0.

Т.к. реальные сети имеют большое количество узлов, а каждый узел имеет не-большое  число связей с другими узлами (до 10), то строки матрицы и матрица вцелом содержат большое количество нулевых элементов (матрица слабоза-полненная или разреженная).

         Каждая строка матрицы соответствует  одному узлу сети и его связям. По структуре матрицы проводимостей можно определить схему сети и ее пара-метры. 

  Пример: Дана матрица проводимостей. По её структуре определим схему

                 сети:

    

    
 

  

                   
 

       То есть матрица проводимостей представляет собой модель схемы элек-трической сети.

       Уравнения (5) и (6) представляют  собой математическую модель режи-ма работы ЭС в общем виде. 
 

       Лекция 9

       Свойства матрицы  проводимости:

       1. При отсутствии в сети трансформаторов  с комплексными коэффициен-тами  трансформации, матрица является  симметричной, то есть выполняется принцип взаимности   Y_ij = Y_ji ;

       2. Матрица является слабозаполненной, так как содержит большое коли-чество нулевых элементов. Причина - если узлы не связаны между собой, то их взаимная проводимость равна нулю (y_ij = 0), а в реальных сетях каждый узел связан с небольшим числом узлов;

           Свойства 1 и 2 используются для  компактного хранения матрицы проводимостей в памяти ЭВМ ( хранятся только ненулевые элементы). Коли-чество собственных проводимостей равно количеству узлов в сети, количество взаимных проводимостей равно числу ветвей ( с учетом симметричности мат-рицы).

          3. Матрица проводимостей неособенная, то есть её определитель , следовательно она имеет обратную матрицу. 

Пример: Составить матрицу проводимостей для схемы