Экономико-математическое моделирование

      DX = B DY.

 

        

  

  ×                                =     
 
 

       DX = (1,21  6,16 29,54 2,59 5,69)^Т 

     Как видим, по всем отраслям произошло изменение  спроса на валовую продукцию. В процентном соотношении это составляет:

(0,27 0,83 3,94 0,66 0,33).

   Как и следовало ожидать, наибольшее изменение спроса на валовую продукцию произошло по 3-й отрасли.

   5. Равновесные цены определим из соотношения P = B^T V, а доли добавленной стоимости рассчитаем по формуле v_j = z_j / x_j, изменив их затем из условия 10 %-го увеличения зарплаты. Разделив добавленную стоимость по отраслям на валовой выпуск, получим:

 

   Выделим из добавленной стоимости зарплату, воспользовавшись информацией о долях зарплаты в добавленной стоимости.

   0,33; 0,5; 0,35; 0,43; 0,6 

     Получим:

 

   Добавив 10 % этих величин к ранее рассчитанным v_j,  получим требуемую величину доли добавленной стоимости. Итак, новые значения v_j  равны:

   Для расчёта по формуле P = B^T V необходимо протранспонировать матрицу В коэффициентов полных затрат, заменив строки столбцами. В результате получим матрицу В^Т. Умножив её на исправленные доли добавленной стоимости, получим равновесные цены. 

        

   ×

     
 

   Получим:

   Как видим, результаты расчётов показали, что при 10 %-ном росте зарплаты одновременно по всем отраслям  цены на продукцию отраслей увеличились в пределах от 3,5 % до 5,7 %.

  Рассчитаем  теперь эффект ценового мультипликатора при дополнительном увеличении зарплаты по отрасли «сельское хозяйство» на 5 %. Расчёты будем вести по формуле DP = B^T DV, где DV определим из условия задачи. 

  0,897 × 0,05 = 0,045

       DV = (0,045  0  0  0  0  )^Т.

    Тогда 

DP =         

                                                                         

                                                                                                 ×  
 
 
 

DP = (0,0474 0,0113 0,0021 0,0013 0,0014)^Т.

        

   Как и ожидалось, наибольший прирост  в цене продукции пришёлся на 1-ю отрасль – увеличение на 4,74 %, а по остальным отраслям этот прирост составил доли процента. Например, по 3-й отрасли на 0,21 %.  Эффект же ценового мультипликатора проявился в том, что при изменении цены только в одной отрасли произошло изменение цен во всех отраслях и это изменение можно отследить с помощью ценового мультипликатора B^T.

              

                                                                
 
 
 
 
 
 

Задание 2.

   Пусть в производстве 4-х видов продукции  участвуют 4 вида ресурсов. Известны нормы  расхода ресурсов на производство единицы продукции (матрица А), цены её реализации (матрица С) и запасы ресурсов (матрица В). Определить план производства продукции, максимизирующий выручку от реализации производственной продукции.

                                         

   Тогда математическая модель задачи примет вид: найти х₁, х₂, х₃, х₄ (объёмы производства каждого вида продукции), удовлетворяющие ограничениям:

               х₁ + 7x₂ + 5x₃ + 2х₄ 400,

            3x₁  + x₂ +       + 4x₄   500,

            3x₂ + 6x₃ + 2x₄

300,

 4x₁ + 2x₂   + 5x₃ + 2x₄

800,

  ( ),

при которых  функция  z=4x₁+3x₂+5x₃+2x₄ достигает максимума. 

Таблица оптимального решения

Итак, для  получения максимального дохода от реализации производственной продукции её необходимо выпустить в объёмах: х₁^*=161,1111; х₂^*=16,6667; х₃^*=24,4444; х₄^*=0. При этом z_max=816,67.

   Двойственная  задача. Найти значения переменных у₁, у₂ у₃, у₄, удовлетворяющих ограничениям: 

   y₁ + 3y₂ +       + 4y₄  4,

7y₁ +   y₂ + 3y₃ + 2y₄

3,

               5y₁ +     + 6y₃ + 5y₄  5,

  2y₁ + 4y₂ + 2y₃ + 2y₄

2,

, для которых целевая функция  будет минимальной.

w=400y₁+500y₂+300y₃+800y₄.

      Решения этой задачи выпишем  из последнего столбца таблицы y₁^*=0,1667, y₂^*=0,1667, y₃^*=0, y₄^*=0,8333.

   Проиллюстрируем свойства двойственных оценок на основе этой задачи.

   1. Каждая из оценок указывает,  на сколько изменится максимальное  значение целевой функции (максимальная выручка), если изменить на единицу запасы соответствующих ресурсов. Наибольшее изменение выручки произойдёт, если изменить объём 4-го ресурса ( = 0,8333), а изменение третьего ресурса (в границах устойчивости) не приведёт к изменению целевой функции (у₃^*= 0).

   2. Оценки у₁^*, у₂^*, у₄^* положительны. Это означает, что при реализации оптимального плана соответствующие ресурсы расходуются полностью. Проверим это. Подставим в 1-е сопряжённые условия исходной задачи.               .

   Аналогично  для второго и четвертого ресурсов.

3∙ 161,1111 + 1∙ 16,6667 + 0∙24,4444 + 4∙0 = 500

4∙ 161,1111 + 2∙ 16,6667 + 5∙24,4444 + 2∙0 = 800.

  Следовательно, 1, 2, 4-й ресурсы дефицитны, у₃^*= 0. Это означает, что в оптимальном решении третий ресурс расходуется не полностью. Проверим это. Подставим в третье ограничение исходной задачи:   

0∙ 161,1111 + 3∙ 16,6667 + 6∙24,4444 + 2∙0 = 197 300               

   Остаток второго ресурса составляет 300-197=103. Это и есть значение балансовой переменной в оптимальном решении исходной задачи.

   3. Рентабельными являются 1, 2, и 3 продукции (х₁^*, х₂^*, х₃^* в оптимальном плане положительны), а нерентабельной 4-я – х₄^*. Проверим это, подставив у_i^* в сопряжённые условия двойственной задачи. Для первой продукции: . Получили строгое равенство.

   Аналогично  для 2 и 3-й продукции:

   7∙ 0,1667 + 1∙ 0,1667 + 2∙0,8333 =3,

   5∙ 0,1667 + 5∙ 0,8333 =5.

     Покажем нерентабельность четвертой продукции, подставив в четвертое ограничение двойственной задачи. Получим:

   2∙ 0,1667 + 4∙0,1667 +2∙ 0,8333 =3 > 2.

   Итак, оценка ресурсов, необходимых для  производства единицы 4-й продукции, больше цены единицы этой продукции на 3 – 2 = 1. 

   Задание 3.

Найти решение игры, заданной матрицей