Экономико-математическое моделирование

 

Решение. Для матрицы А α = 2, β = 4. Матрица не имеет седловой точки, т. к. α<β.

Составим  симметричные двойственные задачи  

Задача 1                                                                  Задача 2 

min Z = t₁ + t₂                                                          max W = u₁ + u₂

                                                             

      Задачу 2 приведём к канонической и решим  симплексным методом.  

 
 
 
 

, ,

u_j = y_j / V,    y_j = u_j · V,   , 

t_i = x_i / V,     x_i = t_i · V,  

 

Задание 5.

   Пусть производственная система характеризуется  производственной функцией Кобба – Дугласа. За период времени системой было произведено 130 единиц продукции при затратах 20 единиц труда и 40 единиц капитала. Известно, что = 0,75.

1. Записать производственную функцию Кобба – Дугласа.
2. Сколько единиц продукта будет произведено системой при затратах 25 единиц труда и 50 единиц капитала?
3. Определить для данной производственной системы средние продукты труда и капитала, используя формулы (5.2), (5.3) и (5.4).
4. Определить предельные продукты труда и капитала, используя формулы  (5.5) и (5.6). Прокомментировать результаты расчётов.
5. Проверить вычислениями точность равенства (5.10).

 
 

      Решение.

Y=130, K=40, L=20, α=0,75

1. Подставим в формулу Y = C K L^1- исходные данные:

130 = С×40^0.75 ×20^0.25. После вычислений получим:

130 = С×33,64 или С = 130/33,64 = 3,864.

 Окончательно  имеем: Y = 3,864 K^0,75L^0,25.

2. Подставим в полученное выражение для производственной функции новые данные:

Y = 3,864×50^0,75×25^0,25 = 3,864×18,803×2,236=162.

Таким образом, системой при новых данных будет произведено 162 единицы продукта.

3. Подсчитаем средние продукты факторов, используя формулы:

Ay_k = Y/K

Ay_k = C (L/K)^1-

Ay_l = Y/L = C (K/L)

Ay_k = Y/K = 170/40 = 4,25.

Ay_k = C (L/K)^1- = 3,864× (20/40)^0,25 = 3,864 ×0,841 = 3,25.  

Из левого выражения (5.4) следует, что Ay_l = 130/20 = 6,5.

Правая  часть этого выражения даёт: Ay_l = 3,864×(40/20)^0,75 = 3,864 × 1,682 = 6,5.

  Как видим, проверяемые равенства выполняются точно, если при вычислениях не производить округления.

4. Рассчитаем предельный продукт капитала:

Мy_k = C (L/K)^1- = 0,75×3,864×(20/40)^0,25 = 2,437.

Мy_k = 0,75×3,25 = 2,437

 Получили, что действительно, Мy_k = Ay_k.

  Аналогично  предельный продукт труда.

  Мy_l = (1– ) C (K/L) = 0,25×3,864×2^0,75 = 1,625

  или Мy_l =(1- ) Ay_l = 0,25×6,5 = 1,625.

  Сравнивая средние и предельные продукты факторов, видим, что действительно, предельные продукты меньше средних, подтверждая  тем самым закон убывающей  эффективности факторов.

  Средний продукт капитала, равный 3,25 означает, что в исследуемой экономической системе на единицу основных фондов приходится в среднем 3,25 единиц выпускаемого продукта, а предельный продукт капитала, равный 2,44, означает, что в исследуемой экономической системе на единицу прироста основных фондов приходится в среднем 2,44 единиц прироста выпуска продукта. Аналогично и по продукту труда.

5. Пусть левая часть выражения

Y(K+ K,L+ L) Y + (Y/K) K + (1– ) (Y/L) L.– это выпуск продукта, подсчитанный в п. 2.

 Тогда  K = 10, а L = 5. Подсчитаем правую часть выражения.

  Y + (Y/K) K + (1- ) (Y/L) L = 130 + 0,75×(130/40)×10 + 0,25× (130/20)×5 = 130 + 24,375 + 8,125 =162.

    Как видим, равенство выполнено  точно.