Математические методы в экономике

 

 

1.Задача прогнозирования.

В таблице приведены результаты сбор медного лома за 8 дней января 2011 . Построить прогноз методом проецирования  тренда и методом простого подвижного (скользящего) среднего. Выполнить геометрическое построение.

Количество собранного металлолома, кг

5,0

4,5

7,0

6,5

9,5

9,0

11,0

9,0

 

 

РЕШЕНИЕ:

1. Метод простого подвижного (скользящего) среднего

T	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X	5,0	4,5	7,0	6,5	9,5	9,0	11	9,0
f	-	-	-	5,5	6,0	7,7	8,3	9,8	9,7

 

 

 

 

 

 

 

II. Метод проецирования тренда

T	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X	5,0	4,5	7,0	6,5	9,5	9,0	11	9,0
∑t	36
∑x	61,5
∑t2	204
∑xt	311,5

 

 

 

84b=69,5

B=0,827

8a+36*0,827=61,5

8a=31,728

a=3,966

ОТВЕТ: x=3,966+0,827*t.

 

 

2. Оптимизационные модели.

Для изготовления двух видов  продукции Р 1 и Р 2 используют три  вида сырья: S 1 , S 2 , S 3 . Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а так же величина прибыли, получаемая от реализации единицы  продукции, приведены в таблице. Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при  ее реализации получить максимальную прибыль. Решить графическим методом.

Вид сырья продукции	Запас сырья	Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы
		Р 1	Р 2
S 1 S 2 S 3	20 40 30	2 8 5	5 5 6
Прибыль от единицы продукции, руб.		50	40

РЕШЕНИЕ:

I. Графический метод

 

Z=50x₁+40x₂      max

 

1. 2x₁+5x₂=20

X₂=(20-2x₁)/5

X1	0	5
X2	4	2

2. 8x₁+5x₂=40

X₂=(40-8x₁)/5

X1	0	5
X2	8	0

3. 5x₁+6x₂=30

X₂=(30-5x₁)/6

X1	0	6
X2	5	0

 

A(0;4)

Z=50*0+40*4=160.

3. Транспортная задача

Найти опорный план  методом «северо–западного» угла и методом минимального элемента для  транспортной задачи – минимизировать расходы на доставку продукции заказчиков со складов фирмы, учитывая следующие  затраты на доставку одной единицы  продукции, объем заказа и количество продукции, хранящейся на каждом складе.

	«Булочная»	«Хлеб»	«Сладости»	«Сдоба»	«Сладкоежка»	Запасы на складе (ед. продукци)
«Крекер»	2.5	4	1	3	1.5	40
«Славянка»	3.5	2	3	1.6	4	55
«Сластена»	1	1	2.5	2	1	105
Объем заказа (ед. продукции)	30	50	40	30	50

РЕШЕНИЕ:

I. Метод «северо–западного» угла

	Запасы	М1	М2	М3	М4	М5
		30	50	40	30	50
П1	40	2,5          30	4 10	1	3	1,5
П2	55	3,5	2 40	3 15	1,6	4
П3	105	1	1	2,5 25	2 30	1 50

40+55+105=30+50+40+30+50

200=200

Z=2,5*30+4*10+2*40+3*15+2,5*25+2*30+1*50=412,5

II. Метод минимального элемента

	Запасы	М1	М2	М3	М4	М5
		30	50	40	30	50
П1	40	2,5	4	1 40	3	1,5
П2	55	3,5	2	3	1,6 30	4 25
П3	105	1 30	1 50	2,5	2	1 25

Z=1*30+1*50+1*40+1,6*30+4*25+1*25=293

4. Модели управления запасами.

Завод  «Инком» выпускающий  автозапчасти, сотрудничает с сетью  автомагазинов «Запаска». Эти организации  заключили договор на год на поставку 12000 подшипников. Стоимость хранения  1 единицы в неделю стоит 70 коп. Стоимость  доставки 1 партии товара составляет 1000 руб. Определить оптимальный размер партии, оптимальный период, минимум  ожидаемых суммарных накладных  расходов (модель без дефицита). А  также, найти эти параметры, если штраф за 1 единицу составляет 0,1 руб. в день. (Примечание: приведите  временные интервалы к одному наименованию).

РЕШЕНИЕ:

R=12000 подшипников

T=365 дней

C₁=0,1 руб. в 1 день

Cs=1000 руб.

C₂₌0,1 руб. в 1 день

 оптимальный размер партии.

 оптимальный интервал времени между заказами.

 min ожидаемых суммарных накладных расходов.

Штраф за 1 единицу составляет 0,1 руб. в  день

 

 

 

Оптимальный уровень запасов  к началу интервала

 

5. Игровые модели.

Игра с природой задана платежной матрицей:

	П1	П2	П3	П4
А1	3	6	2	4
А2	2	6	1	1
А3	1	2	0	3

Определить лучшую стратегию  по критерию максимакса

РЕШЕНИЕ:

 

M=6 лучшая стратегия. (А₁)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ  ЧАСТИ

ВОПРОС: Производственные функции.

Понятие производственной функции одной переменной

Рассмотрение понятия  «производственная функция» начнем с наиболее простого случая, когда  производство обусловлено только одним  фактором. В этом случае производственная функция – это функция, независимая переменная которой принимает значения используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная – значения объемов выпускаемой продукции

y=f(x).

В этой формуле y есть функция одной переменной x. В связи с этим производственная функция (ПФ) называется одноресурсной или однофакторной. Ее область определения – множество неотрицательных действительных чисел. Символ f является характеристикой производственной системы, преобразующей ресурс в выпуск. В микроэкономической теории принято считать, что y – максимально возможный объем выпуска продукции, если ресурс затрачивается или используется в количестве x единиц. В макроэкономике такое понимание не совсем корректно: возможно при другом распределении ресурсов между структурными единицами экономики выпуск мог бы быть и большим. В этом случае ПФ – статистически устойчивая связь между затратами ресурса и выпуском. Более правильной является символика

y=f(x, а),

где а – вектор параметров ПФ.

Пример 1. Возьмем ПФ f в виде f(x)=ax^b , где х – величина затрачиваемого ресурса (например, рабочего времени), f(x) – объем выпускаемой продукции (например, число готовых к отправке холодильников). Величины а и b – параметры ПФ f. Здесь a и b – положительные числа и число b 1, вектор параметров есть двумерный вектор (a,b). ПФ у=ax^b является типичным представителем широкого класса однофакторных ПФ.

График ПФ изображен на рисунке 1

Рис. 1.

На графике видно, что  с ростом величины затрачиваемого ресурса  y растет. однако при этом каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема y выпускаемой продукции. Отмеченное обстоятельство (рост объема у и уменьшение прироста объема у с ростом величины х) отражает фундаментальное положение экономической теории (хорошо подтверждаемое практикой), называемое законом убывающей эффективности (убывающей производительности или убывающей отдачи).

В качестве простого примера  возьмем однофакторную производственную функцию, характеризующую производство фермером какого-либо сельскохозяйственного  продукта. Пусть все факторы производства, такие как величина земельных  угодий, наличие у фермера сельскохозяйственной техники, посевного материала, количество труда, вложенного в производство продукта, остаются из года в год постоянными  величинами. Меняется только один фактор – количество применяемых удобрений. В зависимости от этого изменяется величина получаемого продукта. Вначале, с ростом переменного фактора, она  увеличивается достаточно быстро, затем  рост общего продукта замедляется, а  начиная с определенных объемов  применяемых удобрений, величина получаемого  продукта начинает убывать. Дальнейшее увеличение переменного фактора  не дает увеличения продукта.

ПФ могут иметь разные области использования. Принцип "затраты-выпуск" может быть реализован как на микро-, так и на макроэкономическом уровне. Сначала остановимся на микроэкономическом уровне. ПФ у=ax^b, рассмотренная выше, может быть использована для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса х в течении года на отдельном предприятии (фирме) и годовым выпуском продукции у этого предприятия (фирмы). В роли производственной системы здесь выступает отдельное предприятие (фирма) – имеем микроэкономическую ПФ (МИПФ). На микроэкономическом уровне в роли производственной системы может выступать также отрасль, межотраслевой производственный комплекс. МИПФ строятся и используются в основном для решения задач анализа и планирования, а также задач прогнозирования.

ПФ может быть использована для описания взаимосвязи между  годовыми затратами труда в масштабе региона или страны в целом  и годовым конечным выпуском продукции (или доходом) этого региона или  страны в целом. Здесь в роли производственной системы выступает регион или  страна в целом – имеем макроэкономический уровень и макроэкономическую ПФ (МАПФ). МАПФ строятся и активно используются для решения всех трех типов задач (анализа, планирования и прогнозирования).

Точное толкование понятий  затрачиваемого или используемого  ресурса и выпускаемой продукции, а также выбор единиц их измерения  зависят от характера и масштаба производственной системы, особенностей решаемых задач, наличия исходных данных. На микроэкономическом уровне затраты  и выпуск могут измеряться как  в натуральных, так и в стоимостных  единицах (показателях). Годовые затраты  труда могут быть измерены в человеко-часах  или в рублях выплаченной заработной платы; выпуск продукции может быть представлен в штуках или в  других натуральных единицах или  в виде своей стоимости.