Математические методы в экономике

1. Для исследования экономических  систем невозможно прибегнуть  к построению моделей подобия  (натурных моделей). Естественно,  что невозможно построить уменьшенную  копию фондового рынка или  фирмы.

2. В экономике крайне ограничены  возможности экспериментальных  исследований. Это связано с тем,  что все экономические системы  взаимосвязаны друг с другом  и эксперимент в чистом виде  невозможен. Кроме того, эксперимент  не позволяет оценить долгосрочных  последствий принятия того или  иного решения.

Таким образом, единственный способ моделирования  экономической системы заключается  в построении математической модели соответствующей системы.

К экономико-математическому моделированию  прибегают с целью отыскания  наилучшего решения (в смысле максимума  или минимума) задачи управления той  или иной социально-экономической  системой. В процессе решения данной задачи экономисту необходимо построить  и исследовать модель соответствующей  экономической системы.

Моделью называют некий объект, который  способен в определенных условиях замещать собой исследуемую систему, воспроизводя при этом все интересующие исследователя  свойства и характеристики оригинала. При этом модель должна быть более  проста для исследования, чем исходная система.

1.7.Ход построения экономико-математической модели

Ход построения и исследования экономико-математической модели включает в себя следующие  этапы:

1. Постановка задачи. На данном  этапе формулируется задача построения  математической модели, выявляются  основные предположения и допущения,  которые будут положены в основу  модели.

2. Формализация модели. На данном  этапе, исходя из сделанных  предположений, осуществляется запись  модели в виде математических  соотношений.

3. Математический анализ модели. На данном этапе с помощью  математического аппарата выявляются  основные свойства построенной  модели, а также добываются новые  знания об исследуемой системе,  адекватные реальности в той  же мере, что и предпосылки,  положенные в основу модели.

4. Численный анализ модели с  помощью ЭВМ. На данном этапе  с помощью вычислительной техники  выявляются альтернативные сценарии  поведения и развития исследуемой  системы.

5. Анализ результатов моделирования.  На данном этапе проверяется  соответствие реальной действительности  тех предположений и допущений,  которые были положены в основу  модели и (как следствие) возможности  применения результатов моделирования  на практике.

1.8. Постановка задачи линейного программирования

Многие практические задачи сводятся к системам неравенств относительно нескольких переменных. В качестве примера можно указать задачи, связанные с планированием производства. Обычно эти задачи формируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах, которые, как  правило, задаются при помощи ряда неравенств. В итоге приходится искать наибольшее или наименьшее значение некоторой  функции в области, которая задаётся системой неравенств.

Задачи такого типа относятся к  задачам линейного программирования.  

1.9. Каноническая форма задачи линейного программирования

Каждую задачу линейного программирования можно свести к следующей стандартной  форме: найти неотрицательные значения переменных x₁, x₂,…, x_n, которые удовлетворяли бы системе уравнений:

а₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ………… +  a_1nx_n = b₁

а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ………… + a_2nx_n = b₂

…………………………………………………

а_m1x₁ + a_m2x₂ + ………… +  a_mnx_n = b_m

и обращали в минимум функцию  L(x₁, x₂,…, x_n) = c₁x₁+ c₂x₂ + …    + c_nx_n.

Так сформулированную задачу специалисты  называют общей задачей линейного  программирования в канонической форме.

1.10. Симплекс-метод

Симплекс-метод  даёт возможность  минимизировать функцию на выпуклой многогранной области многомерного пространства путём определённого  перебора вершин этой области.

Этот метод  используется для  решения задач линейного программирования с помощью ЭВМ.

Алгоритм симплекс-метода

1. Определяется некоторый опорный план, которому соответствует вершина области допустимых решений.
2. Найденный опорный план (вершина) проверяется на оптимальность. Пусть этот план не оптимален.
3. Определяется следующий опорный план (вершина) лучший по отношению к предыдущему в результате движения по ребру. Вершина проверяется на оптимальность.
4. Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не будет найдена оптимальная вершина, то есть решение задачи линейного программирования.  

1.11. Задача оптимизации

По своей сущности задача оптимизации  – это математическая модель определённого  процесса производства продукции, его  распределении, хранении, переработки, транспортирования, покупки или  продажи и т.д. Это обычная математическая задача типа: дано /найти/ при условии, но которая имеет множество возможных  решений.

Таким образом, задача оптимизации  – задача выбора из множества вариантов  наилучшего, оптимального.

Экономико-математические модели представляют обширный и достаточно мощный научно-исследовательский, аналитический инструмент познания.

1.12. Экономика города Балаково

Электроэнергетика нашего города представлена 3 предприятиями, на которых работает более 5 тысяч человек. Основные из них: Саратовская ГЭС и Балаковская атомная электростанция.

На Саратовской ГЭС производство электроэнергии за отчётный период составило 4,6 млрд.кВт.час.

Нефтехимическая  отрасль представлена   предприятием ОАО "Балаковорезинотехника", ведущем предприятии отрасли, объем  производства составил 3,3 млрд. рублей. Хочется отметить, что в рейтинге промышленных предприятий области, составленном комитетом промышленности, науки и технологий области по итогам первого полугодия текущего года, ОАО "Балаковорезинотехника" оказалось на 4 месте. Несмотря на остановку  конвейера своего основного потребителя  продукции ОАО "АвтоВАЗ" в начале года, предприятие показало лучший результат по прибыльности и второй результат по объёмам произведённой  продукции.

Химическая отрасль представлена 8 предприятиями, на которых работает около 8,5 тысяч человек. Основные предприятия - ОАО "Балаковское химволокно" с дочерними предприятиями (ОАО "Полипропилен", ОАО "Нить", ОАО "СКЗ", ОАО "Вискозное  волокно", ОАО "Целлофан") и ООО "Балаковские минеральные удобрения".

Основной номенклатурой, обеспечивающей объёмы производства в отрасли, являются волокна и нити химические, минеральные  удобрения, серная кислота. Предприятия  холдинга ОАО "Балаковское химволокно" (ОАО "Полипропилен", ОАО "Нить", ОАО "Вискозное волокно)

Основной вид деятельности ООО "БМУ" - производство минеральных  удобрений. За 2008 года произведено удобрений  и кормового монокальцийфосфата в пересчёте на 100% питательных  веществ 286,4 тыс.тонн .Выпуск серной кислоты  составил 795,2 тыс. тонн.

Машиностроение представлено двумя  предприятиями ОАО "ВДМ" и ЗАО "Волжский литейный завод".

В 2008 году выпущен 71 дизель.

Основными  предприятиями пищевой  отрасли являются: ОАО "Пивкомбинат "Балаковский", ОАО "Мясокомбинат "Балаковский" и ЗАО "Балаковохлеб". Доля отрасли в общем объёме производства составляет 3%.

Виды выпускаемой продукции: хлеб и хлебобулочные изделия, майонез, колбасные изделия , кондитерские изделия , пиво , макаронные изделия Рост производства макаронных изделий связан с вводом в 2002 году новой более производительной линии на ЗАО "Балаковохлеб".

Деревообрабатывающая промышленность представлена производственной компанией "ЕМК" филиал ОАО МК "Шатура".

 Другие крупные организации  - ОАО "Саратовгэсстрой" и  ЗАО "Химформ".

 

Агропромышленный комплекс всегда играл немаловажную роль в развитии экономики Балаковского муниципального образования. На территории БМО зарегистрировано 30 хозяйств различных форм собственности  и 274 крестьянско-фермерских хозяйств.

Валовый сбор зерновых за 2008 год составил 107 тыс. тонн, средняя урожайность 17,6 ц/га.

В строительстве предприятиями  и организациями всех форм собственности  за 2008 год построено более 9 тыс.кв.м  жилья.

2. Исследовательская часть

Задача №1

 С ОАО Пивкомбинат "Балаковский" привозят продукцию на торговую базу «Кристалл» машинами 1тонна и 2 тонны. За 1 час торговый склад может принять не более 10 машин, но при этом не более 8 машин по 1 тонне и не более 6 машин по 2 тонны. Сколько машин по 1 и 2 тонны нужно отправлять с пивкомбината на торговый склад за 1 час, чтобы перевезти наибольшее количество продукции?

Решение

Пусть за один час отправляется x машин по 1 тонне и y машин по 2 тонны. По условию задачи получим систему неравенств:

                     x≥0,

                     y≥0,

                     x≤8,

                     y≤6,

                     x+y≤10.

Всего за один час перевозится x +2y тонны продукции. Задача свелась к нахождению наибольшего значения линейной функции: S(x;y) = x + 2y в области, заданной системой неравенств.

Множеством решений данной системы  является многоугольник F, изображённый на рисунке.

Среди всех точек многоугольника F функция S(x ; y) = x + 2y принимает наибольшее значение в вершине многоугольника (4;6). Это значение равно S(4;6) = 1∙4 + 2∙6 = 16.

Ответ: 4 машины по 1 тонне и машин  по 2 тонны продукции. 

Задача №2

Из сёл «Еланка» и «Подсосенки» на склады ОАО «Молоко Поволжья» нужно привезти молоко. ОАО «Еланка» всё сырьё может погрузить на 80 машин, а ООО «Подсосенки»  на 100 машин. Склады ОАО «Молоко Поволжья» должны принять: склад №1 – 50 машин, склад №2 – 70 машин, склад №3 – 60 машин. Количество бензина (в литрах), которое расходует одна машина на пробег с полей до склада, задаётся таблицей 1.

	Склады
	№1	№2	№3
«Еланка»	2	4	5
«Подсосенки»	4	5	3

Требуется составить план перевозок  молока, при котором общий расход бензина будет наименьшим

 Решение 

Пусть х – число машин, отправленных с предприятия ОАО «Еланка» на склад №1, а у – на склад №2. Тогда план перевозок задаётся таблицей 2.

Таблица 2

	Склады
	№1	№2	№3
«Еланка»	х	у	80-х-у
«Подсосенки»	50-х	70-у	х+у-20

 

Их таблицы 1 и 2 находим общий  расход бензина:

S(x;y)= 2x+4y+5(80-x-y)+4(50-x)+5(70-y)+3(x+y-20)=890-4x-3y.

В таблице 2 все числа должны быть неотрицательными.

                     x≥0,

                     y≥0,

                     80-x-y≥0,

                     50-x≥0,

                     x+y-20≥10,

                     70-y≥0

Задача свелась к нахождению наименьшего значения линейной функции    S(x;y)=890-4x-3y в области, заданной системой неравенств.

 Множество решений данной системы является многоугольник F, изображённый на рисунке. Наименьшее (и наибольшее) значение функции S(x ; y) принимает в одной из вершин многоугольника F.

Вычисляя её значение в этих вершинах, получаем:

S(0;20)=830             S(50;30)=600

S(0;70)=680              S(50;0)=690

S(10;70)= 640           S(20;0)=810

Наименьшее из этих значений, равное 600, функция принимает при x=50, у=30.

При этих значениях x и y таблица 2 принимает вид.

Таблица 3	Склады
	№1	№2	№3
«Еланка»	50	30	0
«Подсосенки»	0	40	60

Ответ: наименьший расход бензина 600 литров

Задача №3

ООО «БМУ» производит 2 продукции: кормовой монокальцийфосфат и серную кислоту в количестве x₁ и x₂ т. за месяц соответственно. Тонна кормового монокальцияфосфата приносит 12000 рублей прибыли, а тонна серной кислоты – 8000 рублей. Производственные мощности завода позволяют выпускать не более 100 тонн двух продуктов вместе, при этом производство кормового монокальцияфосфата  не может превышать более чем в 3 раза производства серной кислоты. Надо определить оптимальный объём производства, приносящий ООО «БМУ» максимальную прибыль.