Решение дробно-рациональных уравнений

№1.Решить уравнение [3] 

 

1. =2(,

=

;

2. D=;
3. *2;
4. ;
5. 2;

,

,    =1;

6. -11  ,   1;
7. Ответ:.

 

№2.Решить уравнение

 

 Разложим на простые множители знаменатели дроби

 

Область определения уравнения:

Умножим обе части уравнения на общий  знаменатель:

;

 

Данное  уравнение имеет два корня  , .

Оба корня  удовлетворяют области определения  уравнения.

Ответ: корня  , .

 

№3.[4] Решите уравнение

 

 

 

 

Перепишем исходное уравнение:

 

 

Область определения  уравнения:

Общий знаменатель: 

Приведем  уравнение к целому виду:

 

Раскроем  скобки приведем к общему знаменателю:

 

Данное уравнение  имеет два корня:

, 3

Ответ:   

2.Условие равенства дроби нулю при решении дробно-рациональных уравнения

Дробно-рациональное  уравнение равно нулю тогда и  только тогда, когда числитель  равен  нулю, а знаменатель, при этом  не обращается  в ноль, то есть

.[1]

 

.

 уравнение к общему знаменателю 

, перейдем к равносильной системе,

 

Ответ:    .

3.Сведение дробно-рациональных  уравнений к совокупности уравнений

[1]

№1.[3]Решить уравнение

 

Перепишем исходное уравнение в виде

 

 

Группируя первый член с последним, а второй с третьим, перепишем уравнение в виде:

;

 

 Последнее  уравнение этой системы можно  переписать в виде

  перейдем к равносильной системе

 

Решением  этого уравнения есть ,

Ответ:

 

№2. [3]Решить уравнение

.

 

Разложим  трехчлен в знаменателе каждой дроби  на множители:

 

 

Приведем  дроби к общему знаменателю.

 

 

 

 

Решив уравнения, найдем

 

Решением  системы является

Ответ:

4.Метод замены (введения новой переменной )

Введения  новой переменной или метод введения нового неизвестного представлен схемой:

 f(g(x))=p(g(x));

g(x)=u1;   g(x)=u2;  g(x)=un , где u1,u2,un - корни уравнения f(u)=p(u) .

Введение  новой переменной позволяет разбить  задачу на подзадачи, то есть вместо одной  сложной решать несколько простых  уравнений.[1]

№1 .(1)Решить уравнение

  .

Обозначив через y, данное уравнение переписываем  в виде

  . Поскольку y=0 не есть решение данного уравнения, то это уравнение равносильно уравнению . Решения этого  уравнения  есть и . Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

 

 

 

 

Следовательно, решениями уравнения будут числа  ,

 .

Ответ:   , .

 

№2.Решить уравнение

 

Обозначим через y, тогда  уравнение примет вид данное уравнение равносильно системе

 

 

Следовательно, исходное уравнение равносильно  совокупности уравнений

 

 

Ответ:

Анализ школьных учебников  алгебры  по теме

дробно – рациональные уравнения

 

Элементы  государственного стандарта основного общего образования по математике (ГОС).[11]

Обязательный минимумом содержания основных  образовательных программ:

Алгебра

Уравнения и  неравенства. Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Примеры решения уравнений высших степеней; методы замены переменной, разложения на множители.

Требования к уровню подготовки выпускников

В результате изучения математики ученик должен

Знать /уметь 

• существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;

Уметь

• составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;
• выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;
• решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы.

 

Проведем анализ школьных учебников  по теме « Решение дробно-рациональных уравнений». Анализ проводится по 4 основным учебникам, наиболее часто встречаемым в школьной практике:

• Алгебра, 8 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2006;
• Алгебра, 8 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов) 2010;
• Алгебра, 8 класс (Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.) 2010;
• Алгебра, 8 класс (А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев) 2008.

Содержание материала  и порядок изложения:

Алгебра, 8 класс, Ю. Н. Макарычев[5]	Алгебра, 8 класс, А. Г. Мордкович[7]	Алгебра, 8 класс, Ш. А. Алимов[6]	Алгебра, 8 класс, С. М. Никольский[8]
Рациональные дроби Квадратное корни Квадратные уравнения Неравенства Степень с целым показателем	Алгебраические дроби ФункцияСвойства квадратного корня Квадратная функция. Функция Квадратные уравнения Элементы теории делимости Алгебраические уравнения Неравенства	Неравенства Приближенные вычисления Квадратные корни Квадратные уравнения Квадратичная функция Квадратные неравенства	Простейшие функции. Квадратные корни Квадратные и рациональные уравнения Линейная и квадратичная функции Системы рациональных уравнений

 

Содержание  рассмотренных выше учебников соответствует  содержанию образования и даже по некоторым вопросам превосходит  её.

Понятие дробно рациональных уравнений  в анализируемых учебниках [5,6,7,8]

• в учебнике Ю. Н. Макарычева понятие дробно-рациональных уравнений выглядит так:

     Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются рациональными уравнениями. Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называются дробными.

• в учебнике С. М. Никольского

    Уравнение, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно х, называют рациональным уравнением с неизвестным х.       Добно - рациональные уравнения названы уравнениями, одна часть которого алгебраическая дробь, а другая - нуль. Такое уравнение имеет вид уравнения где и

• в учебнике А. Г. Мордковича

Алгебраическое  выражение, составленное из чисел и  переменных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления возведения в  целую степень, называют рациональными. Если рациональное выражение, то уравнение называют рациональным уравнением.

• в учебнике Ш. А. Алимова нет понятия дробно - рационального уравнения, вид дробно-рациональных уравнений назван уравнения сводящиеся к квадратным.

 

Методы решения дробно рациональных уравнений в анализируемых учебниках  [5,6,7,8]

 

 

• в учебнике Ю. Н. Макарычева

Решение данного вида уравнений производится по строгому алгоритму:

1.    найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2)    умножить обе части  уравнения на общий знаменатель;

3)    решить получившееся  целое уравнение;

4)    исключить из его  корней те, которые обращают в  нуль общий знаменатель.

 

• в учебнике С. М. Никольского

 Уравнение заранее приведено  к неоднородному виду, затем все  уравнение приводится  к общему  знаменателю, затем решается уравнение  - числитель приравнивается к  нулю, полученные корни  подставляют в знаменатель дробно-рационального уравнения,  корни не должны обращать знаменатель в нуль,  следовательно, корнями уравнения будут являться те корни, которые не обращают знаменатель уравнения в нуль.

 

• В учебнике А. Г. Мордковича
• Уравнение приводится к неоднородному виду, затем все уравнение приводится  к общему знаменателю, затем решается уравнение - числитель приравнивается к нулю, полученные корни  подставляем в знаменатель дробно-рационального уравнения,  корни не должны обращать знаменатель в нуль,  следовательно, корнями уравнения будут являться те корни, которые не обращают знаменатель дробно-рационального уравнения в нуль;
• Метод замены. Вводится замена, решается более простое уравнение, полученные корни подставляют в выражение, замена которого была произведена ранее, полученные корни записывают в ответ.
• в учебнике Ш. А. Алимова

Изначально  находится общий знаменатель уравнения, умножаются обе части уравнения на общий знаменатель, преобразуется  уравнение, решается полученное уравнение, проверяется, не обращают ли полученные корни знаменатель уравнения в нуль, в ответ записываются корни, не обращающие в нуль знаменатель.

 

На мой взгляд, наиболее понятным для школьников, обучающихся в 8 классе, будет материал, представленный в учебнике Ю. Н. Макарычева. Опираясь  на этот учебник, я хотела бы показать, как можно ввести материал о дробно-национальных уравнениях в школе. Для этого был составлен конспект урока.

Конспект урока [5,6,7,8,9,10]

Тема: решение  дробно-рациональных уравнений

Цели:

• отработка навыков решения дробно-рациональных уравнений;
• развитие вычислительных навыков учащихся;
• повторение способов решения линейных, квадратных уравнений;
• частичная проверка навыков решения дробно-рациональных уравнений.

Задачи:

• заинтересовать учеников предметом;
• показать  важность умения решать разные уравнения

Метод:

• фронтальной беседы;
• наглядно-иллюстративный.

Оборудование:

• учебник 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.В. Суворина;
• рабочая тетрадь.

Структура:

1. Постановка цели;
2. Подготовка к изучению нового материала;
3. Ознакомление с новым материалом;
4. Первичное осмысление и применение изученного;
5. Постановка домашнего задания;
6. Подведение итогов;
7. Резервные задания.

 

Ход  урока:

1.Постановка  цели урока.

Отмечается, что начинается изучение нового параграфа, который называется дробные рациональные  уравнения. Учитель уточняет, что  изучение новой темы будет опираться  на изученную ранее тему - решение  квадратных уравнений. Учитель, говорит, что сегодня повторим решение  квадратных уравнений, изучим некоторые  теоретические основы решения дробно – рациональных уравнений и будем  на практике пытаться закрепить теоретические  знания.  

 

2. Подготовка  к изучению нового материала.

  Учитель предварительно выписывает на доске 3 квадратных уравнения и вызывает  из класса 3 слабых ученика (т.к. данная тема изучалась ранее  и «слабые»  ученики  должны уже усвоить тему – решение квадратных

 уравнений ). Все остальные учащиеся решают 3 уравнения у себя  в тетради.

1);

Решение:

 

Корни:

 

Ответ:  .

2)

Решение:

 

 

Ответ: .

 

3)

Решение:

;

Ответ: решений  нет.

 

3.Ознакомление  с новым материалом.

Учащиеся  открывают учебник  на странице 126, учитель начинает объяснять:

 В  уравнениях 

 

 

 

Левая и  правая  части являются рациональными  выражениями.