Решение дробно-рациональных уравнений

Такие уравнения  называются рациональными уравнениями. Рациональное уравнение, в котором  и  левая и правая части являются целыми выражениями, называются целыми. Рациональные уравнения, в котором  левая или правая части являются дробными выражениями, называются дробными. Так уравнение  целое, а уравнение -дробные рациональные уравнения.

 

Пример: Решим целое уравнение

 

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель входящих в  него дробей, т.е. число 6. Получим уравнение, равносильное данному, не содержащее дробей:

 

Решив его, найдем, что .

 

Пример: Решим дробное рациональное уравнение

 

По аналогии с предыдущим  примером, умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т.е. на выражение Получим целое уравнение:

(2)

Каждый  корень уравнения (1) является корнем уравнения(2). Но  уравнение  (2) может быть не равносильно исходному, так как мы умножили его обе части не на число, отличное от нуля, а на выражение, содержащее переменную, которое может обращаться в нуль, поэтому не каждый корень уравнения(2) обязательно окажется корнем уравнения (1).Упростив  уравнение(2), получим квадратное уравнение

Его корни  числа -2 и 5

Проверим, являются ли числа -2 и 5 корнями уравнения(1).

При x=-2 общий знаменательне обращается в нуль. Значит число -2 – корень уравнения(1).

При х=5 общий  знаменатель обращается в нуль и  выражение      и    теряет смысл. Поэтому число 5 не является корнем уравнения (1).

Ответ: x=-2.

 

Вообще  при решении дробных рациональных уравнений целесообразно действовать  следующим образом:

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель
3. Решить полученное целое уравнение
4. Исключить из него корни те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример:

 

Разложим на множители:

 

Общий знаменатель:    Далее

 

 

 

 

,

 

 

 

Если 

Ответ:

 

 

4. Первичное осмысление и применение изученного.

Для закрепления изученной теории решим практические задания

 

1-№ 590(а, и).

А)

 

,

 

,

 

,

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:      .

 

И)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x=1,

 

При общий знаменатель дробей не обращается в ноль, поэтому и являются корнями уравнения.

Ответ: , .

№2-591(а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 иявляются корнем уравнения, поскольку при и

Общий знаменатель не обращается в  нуль.

 

№3-594. При каких значения х:

 А) Значение функции  равно 5; -3; 0;2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

3)0;

 

 

 

 

 

5.Постановка домашнего задания.

Домашняя  работа включает в себя аналогичные  задания тем, что учащиеся решали в классной работе:

 

№1- 590(б, в).

Б)

 

 

 

 

 

 

  не подходит, т.к. при   знаменатель обращается в нуль, поэтому данное уравнение имеет только один корень .

Ответ:

 

В),

 

 

 

 

 

,

  не подходит, т.к. при   знаменатель обращается в нуль, поэтому данное уравнение имеет только один корень .

Ответ:

 

 

№2-591(б).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 являются корнями  уравнения, поскольку при этих  значениях

Х знаменательнее обращается в нуль.

Ответ: .

 

№3-593(а).

 

 

 

 

 

 

 

 

,

Оба числа являются корнями уравнения, так как при  общий знаменатель не обращается в нуль.

Ответ:.

 

6.Подведение  итогов.

Следует подвести итоги о проделанной  работе на уроке, выставить оценки, парциально оценить работу учащихся.

 

7.Резервные  задания.

1-№591(в,  г),

2-№593(б,  в, г),

3-№594(б).

                                                                                      Заключение

В процессе анализа учебно-методической литературы, были перечислены основные свойства уравнений (равносильность уравнений), выявлены методы решения дробно-рациональных уравнений:

• метод решения по алгоритму;
• метод, основанный на условии равенства дроби нулю;
• метод сведения к совокупности уравнений;
• метод замены;

 к каждому из методов  подобраны упражнения, которые представлены  с решениями, в ходе выполнения  работы был проанализирован теоретический  и практический материала в  школьных учебниках алгебры:

• Алгебра, 8 класс, С. М. Никольский, 2006;
• Алгебра, 8 класс, Ю. Н. Макарычев, 2010;
• Алгебра, 8 класс Ш. А. Алимов, 2010;
• Алгебра, 8 класс А. Г. Мордкович, 2008;

 после анализа учебников  был составлен конспект урока.

Таким образом, выполнив все  задачи, мы достигли главной цели данной  курсовой работы, а именно, углубили и систематизировали наши знания о объекте исследования.

 

 

 

 

Литература

1. Алгебраический тренажёр. А.Г.Мерзляк. Москва, Харьков, изд. Илекса, изд. Гимназия, 1998.
2. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену.- Черкасов О.Ю., Якушев А.Г.,7-е изд.-М.: Априс-пресс, 2003.
3. Сборник задач по элементарной алгебре.- С. Е. Ляпин, И. В. Баранова, С. Г. Борчугова, М.: Просвещение, 1973 .

 

4. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие/ Дыбов П.Т., Забоев А.И., Иванов А.С.; Под ред. А.И. Приленко. -М.: Высшая школа, 1982.
5. Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 10-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2010.
6. Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.] — 17-е изд. — М.: Просвещение, 2010.
7. Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. — 4-е изд., перераб. — М.: Мнемозина, 2008.
8. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. — 3-е изд. — М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2006.
9. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ. мат. спец./А.Я.Блох, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев;  Сост. Мишин.- М.:Просвещение,1987.

 

10. Педагогическая практика: Учебно-метод. пособ. для студ.  физ. мат. фак-в/И.А. Карпачева , Т.А.Позняк;-Елец,2005.

 

11.   www.school.edu.ru