Автоматическое управление

       В соответствии с источником литературы¹ электронный усилитель можно представить в виде усилительного звена, магнитный усилитель термопару и нагревательный элемент – в виде инерционного звена.

       Передаточная функция усилительного звена W(p) = k  (1)²

       Передаточная  функция инерционного звена 

 (2)³

 

        4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТОЙ И

РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ 

       Определив передаточные функции звеньев автоматической системы регулирования, можно найти передаточную функцию системы.

      В АСР звенья могут соединяться по-разному. Однако любую систему можно рассматривать как совокупность трех видов соединений элементарных звеньев: последовательного, параллельного и встречно-параллельного.

       При последовательном соединении звеньев  выходная величина предыдущего звена является входной величиной последующего. Входной величиной всего соединения служит входная величина первого звена. Выходной величиной соединения является выходная величина последнего звена.

       Передаточная  функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев⁴.

       При встречно-параллельном соединении звеньев  одновременно с входной величиной системы на вход подается ее выходная величина, прошедшая через звено обратной связи. Передаточная функция системы при встречно-параллельном соединении звеньев с отрицательной обратной связью определяется по формуле:

       W (р) = W_п (р)/[ 1 + W_п (p) W_ос (р)] (3)⁵ 

       где W_п (р) – передаточная функция прямого участка системы;

           W_ос (р) - передаточная функция звена, включенного в обратную связь.

       Обозначим передаточную функцию замкнутой системы регулирования Ф(р), а передаточную функцию разомкнутой системы W(p).

       В таком случае

       где W₁(p)=k – передаточная функция электронного усилителя;

           W₂(p)=k₁/T₁p+1 – передаточная функция магнитного усилителя;

           W₃(p)=k₂/T₂p+1 – передаточная функция объекта регулирования (печи);

           W₄(p)=k₃/T₃p+1 – передаточная функция термопары.

       Учитывая  значения передаточных функций звеньев, получим:

         
 
 
 
 
 
 

       Передаточная  функция разомкнутой системы  имеет вид ⁶:

            
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

5. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ  

       Характеристическое  уравнение разомкнутой системы  можно получить, приравнивая нулю знаменатель⁷. Тогда передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид:

       

       Отсюда, характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

      

 

      6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗОМКНУТОЙ

      СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 

        Основным назначением АСР является поддержание заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменение его по определенному закону. При отклонении этого значения, автоматический регулятор воздействует    на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. В системе возникает переходный процесс, определяемый динамическими свойствами.

        Если после окончания  переходного процесса система снова  приходит в первоначальное или другое равновесное состояние, то такую систему называют устойчивой.

        Если при тех  же условиях в системе или возникают  колебания: со все возрастающей амплитудой, или происходит монотонное увеличение отклонения регулируемой величины от ее заданного равновесного значения, то систему называют неустойчивой.

        Первый критерий устойчивости был предложен Раусом в виде неравенств, составленных по особым правилам (алгоритму) из коэффициентов характеристического уравнения разомкнутой системы.

        Наиболее просто пользоваться этим критерием устойчивости, 
прибегая к помощи таблицы ⁸:

 Таблица 1.

 

        ;

        ;

        ;

        .

       Для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все величины первого столбца таблицы были положительными. Это условие выполняется. Следовательно, разомкнутая система является устойчивой.⁹

 

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ 

       Критерий  Найквиста основан на рассмотрении комплексной частотной характеристики (КЧХ) разомкнутой системы, по виду которой можно судить об устойчивости замкнутой системы, что обусловлено наличием однозначной зависимости между передаточной функцией W(p) разомкнутой системы и характеристическим уравнением замкнутой системы.

       

       Согласно  литературе ¹⁰

- действительная часть КЧХ  - мнимая часть КЧХ  

       Согласно  критерию Найквиста, если разомкнутая  система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы КЧХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1, j0) 

       Таблица 2.

 

       Из  графика видно, что это условие  выполняется. Следовательно, и замкнутая система также является устойчивой.

 

8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ ПО КЧХ

РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ 

       Оценка качества процесса регулирования может быть сделана по КЧХ устойчивой разомкнутой системы.

       Степень устойчивости замкнутой системы  находится в прямой зависимости от степени удаленности точки пересечения КЧХ разомкнутой системы с отрицательной вещественной полуосью от точки (-1, j0).

       Расстояние  от упомянутой точки пересечения до точки (-1, j0) называют запасом устойчивости системы по модулю¹¹:

.

      Угол  образованный вещественной отрицательной полуосью и лучом, проведенным из начала координат через точку пересечения КЧХ с окружностью единичного радиуса, имеющий центр в начале координат, называют запасом устойчивости системы по фазе:¹²

.

       Запас устойчивости по модулю (с) показывает, насколько должен измениться модуль КЧХ системы при ее неизменных фазовых соотношениях для выхода системы на границу устойчивости.

      Запас устойчивости по фазе ( ) показывает, насколько возрастает запаздывание по фазе в системе на частоте среза при неизменном коэффициенте усиления на этой частоте, чтобы система оказалась на границе устойчивости.  

 

9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛАЧХ И

ЛФЧХ  РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ 

       Критерий  устойчивости Найквиста применяют и в случае изображения КЧХ в виде логарифмической амплитудной характеристики (ЛАЧХ) и фазовой характеристики (ЛФЧХ) частотных характеристик разомкнутой системы.¹³

       Передаточная  функция разомкнутой системы  имеет вид:

       Тогда выражение для ЛАЧХ будет иметь вид:

        

       Выражение для ЛФЧХ имеет вид:

       .