Дифференциальные уравнения высших порядков

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятие о дифференциальных уравнений высших порядков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общий вид ДУ N: 
 
 
где – аргумент, – неизвестная функция, - заданная непрерывная функция в области – мерного евклидова пространства. 
 
Порядок уравнения – порядок старшей производной

Функция определенная на называется решением ДУ N, если:

 

 

 

График решения  называется интегральной кривой.

Более простым  для изучения является ДУ N, разрешенное относительно старшей производной:

 

Его также  называют уравнением в нормальной форме. 
Пример:

 
Рассмотрим ДУ N вида:

Тогда

 
 

 

По  аналогии, решением уравнения  будет функция

 

т.е. решение ДУ N зависит от n параметров. Это наводит на мысль о том, что и в общем виде решение  ДУ N зависит от n параметров (n произвольных констант). Для выделения какого либо конкретного решения требуются дополнительные условия. Чаще всего в качестве таких условий выступают Н.У.

Для уравнения начальными условиями называют условия вида:

 

Числа называются начальными данными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методы  понижения порядка для дифференциальных уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

I.  Уравнение вида

 

   решается заменой 

II. Уравнение вида

 

   решается заменой 

III. – однородное уравнение относительно переменных

   решается заменой 

IV. Пусть существует такая непрерывно дифференцируемая функция  что для всех справедливо тождество

 

очевидно ему эквивалентно уравнение вида

 

V. Функция называется обобщенно-однородной степени  , если существует такое число  

 

порядок можно понизить заменой

 

 

 

 

 

                                  Источники 
 
Статья. – Режим доступа: 
[http://ru.morfey13.wikia.com/wiki]

Лекция. – Режим доступа: 
[http://3w.fcyb.mirea.ru/Downloads/Down/lection4.pdf] 
Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений/ Н.М. Матвеев - учебник. под ред.проф. - М.: ВЫСШАЯ ШКОЛА -М., 1967. – 473с.