Уравнение регрессии линейное (т.к. переменная x одна) однофакторное (т.к. нет квадрата).

     Если  X увеличить на единицу, то Y увеличиться на 1,284 (а₁).

     Коэффициент эластичности показывает насколько  измениться результат, если фактор изменить на 1%.

     

     Стремление  коэффициента эластичности к 1 показывает, что связь между X и  Y сильная.

     Построим  график регрессии.

     

 

Задача  2. Оптимизационные модели

 

     Некоторая фирма выпускает два набора удобрений  для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный - 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере, 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный - 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость? Решить задачу геометрическим методом.

 

     

     

1. Построим  допустимую многоугольную область, для этого каждое из неравенств превратим  в равенство и проведем соответствующую  прямую на координатной плоскости.

После этого возьмем одну из точек по одну сторону от прямой и поставим ее в неравенство. Если неравенство выполняется, то штрихуем в сторону этой точки, иначе в противоположную.

1.   
2.   
3.    

2. Чтобы построить линию целевой функции, нужно построить вектор с координатами, равными значению эффективной покупки и провести график целевой функции перпендикулярно этому вектору.

т. А  при движении прямой z₁ в направлении вектора n пересечена первой (т.к. стремиться к min).

3. Уточним координаты т. А. Данная точка лежит на пересечении  прямых

т. А (2; 2)

4.   Функция минимизации прибыли  и эффективного выбора удобрения для питания почвы при найденных значениях составляет:

 

Задача 3. Транспортная задача

 

     Необходимо  решить транспортную задачу – минимизировать расходы на доставку продукции заказчиков со складов фирмы, учитывая следующие  затраты на доставку одной единицы  продукции, объем заказа и количество продукции, хранящейся на каждом складе. При решении использовать  метод «северо–западного» угла и метод минимального элемента и сравнить полученные результаты: 

 

1. Решение методом  «северо-западного» угла:

Функция затрат F = 12*100 + 14*45 + 32*17 + 12*33 + 24*51 + 24*19 + 8*30 = 4690

2. Решение методом минимального элемента:

Функция затрат F = 14*12 + 32*50 + 20*70 + 3*30 + 8*51 + 10*33 + 6*49 = 4290

Методом «северо-западного» угла не учитывает стоимость доставки, т.е. методом удовлетворяется спрос и предложение. Второй метод более предпочтителен, он учитывает стоимость доставки, но он также является не окончательным.

 

Задача 4. Модели управления запасами

 

     Завод по изготовлению детских игрушек  «Гном» заключил договор на ежемесячную  поставку мягких игрушек для торговой сети «Буратино».Объем договора: 8000 единиц в год. Стоимость хранения  1 единицы в день стоит 0,1 коп. Стоимость доставки 1 партии товара составляет 2000 руб. Определить оптимальный размер партии, оптимальный период, минимум ожидаемых суммарных накладных расходов (модель без дефицита). А также, найти эти параметры, если штраф за 1 единицу составляет 0,1 руб. в неделю. (Примечание: приведите временные интервалы к одному наименованию). 

     Решение:

     Известно, что 

     R = 8000 шт/год – полный спрос за время Т

     T = 12 мес. – период времени, для которого ищется оптимальная стратегия

     С₁ = 0,03 руб. – стоимость хранения единицы продукции в месяц (т.к. 0,1*30 = 3 коп./мес.)

     С₂ = 0,42 руб. – штраф за нехватку одной единицы продукции в месяц (т.к. 0,1*4,2 = 0,42 руб/мес.)

     С_s = 2000 руб. – общая стоимость заказа при покупке или производстве 

Найдем  оптимальный размер партии (модель без дефицита):

       

Оптимальный размер партии с учетом штрафа:

Найдем оптимальный  период (модель без дефицита):

Оптимальный период с учетом штрафа:

Найдем минимум  ожидаемых суммарных накладных  расходов (модель без дефицита):

 

Минимум ожидаемых суммарных накладных  расходов  с учетом штрафа:

 

Задача 5. Игровые модели

 

Игра с природой задана платежной матрицей:

 

Определить  лучшую стратегию по критерию Гурвица  с коэффициентом р=0,4

      

     Решение:

     Если  вторая сторона является природой (несознательным игроком), то в этом случае составляется матрица выигрышей и матрица  рисков.

     Матрица выигрышей:

     

1. Критерий  макси-макса – крайний оптимизм (ищется по матрице А)

2. Критерий  макси-минный – критерий Вальда

3. Критерий  оптимизма-пессимизма Гурвица, используется с учетом коэффициента p.

А значит, лучшая стратегия  по критерию Гурвица – стратегия А_4.

Матрица рисков:

Критерий мини-максного риска – критерий Севиджа

, лучшая стратегия А₃