Парная линейная регрессия

      Замена: ỹ= aх^b, где Ln (х)=х*, Ln (у)=у*, ỹ= a*+ bх*

      В таблице все средние находятся  по формуле средней арифметической простой: Хср. = ∑х / N.

      b = = = 0,364883

      a* = y*_ср – b*x’_ср = 5,300916 – 0, 364883*1,433464 = 4,777868

      Таким образом, уравнение регрессии примет вид:

      ỹ* = 4,777868 + 0,364883x*

      Коэффициент регрессии показывает, что при  выработки литья на одного работающего  в среднем увеличивается себестоимость 1т. литья на 0,364883.

    2. Проверить значимость коэффициентов регрессии.

    Таблица №15

    Вспомогательные данные

      S² = =  = 0, 041405769

      S²_b = = = 0, 01193323

      S²_a = S²_b * (x’²)_ср = 0,01193323*2,370255 = 0, 028284798

      t_расч (b) = b/ S_b =0,364883 / 0,01193323^0.5 = 3, 340219734

      t_расч (a) = a/ S_a = 4,777868/ 0,028284798^0.5 = 28, 40911058

      t_теор = t _{ά/2; N-2} = 2,262158887

      Т.к. [t_расч b] > t_теор b, то коэффициент b статистически значим.

      Т.к. [t_расч a] > t_теор a, то коэффициент a статистически значим.

      3. Рассчитаем коэффициент a.

      a = e^a*= eх^{4, 777868} = 118, 8507271, тогда уравнение регрессии выглядит следующим образом:  ỹ=118,851 х^0,364883

      4. Определить тесноту связи между  x и y, рассчитав корреляционное отношение.

      η = = = 0,787288

      Т.к. η недостаточно близко к единице, то связь между X и Y слабая.

      5. Определим автокорреляцию остатков

      Для этого находим значения e_i и определяем значения критерия d, который находится по формуле: d = = = 1,851074228

      Для критерия d найдены критические границы, позволяющие принять и отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.

      По  таблице распределения Дарбина-Уотсона  при заданном уравнении значимость «α»=0,05 в числе «N»=11 и количестве объясняющих переменных «m»=1 определяют критические границы: d₁ = 0,927, d₂ = 1,324, (4 - d₁) = 3, 073, (4 - d₂) = 2, 676

      Так как d попадает в интервал (d2; 4-d2), то означает, что автокорреляция остатков отсутствует. Отсутствие автокорреляции остатков является одним из подтверждений высокого качества модели

      6. Оценить прогнозные качества модели.

    Таблица №16

    Вспомогательные данные

      Качество  уравнения регрессии оценивается с помощью средней ошибки аппроксимации

      σ = = = 14,22063449 

      Значит, фактическое значение себестоимости 1т. литья от расчетных по уравнению  регрессии в среднем различаются  на σ=14,22063449. Если ошибка аппроксимации не превышает 10%, полученное уравнение можно оценить как вполне хорошее, степенная модель не приемлема для прогнозирования.

    7. Все расчеты подтвердить в пакете «Анализ данных».

Таблица №17

    ВЫВОД ИТОГОВ

    Дисперсионный анализ

 

 

       1.4 Параболическая зависимость

      1. Построить степенную зависимость  (регрессию вида Ŷ = b₀ + b₁x+b₂x²). Вычисление коэффициентов выполнить методом наименьших квадратов, дать интерпретацию в терминах задачи.

    Таблица №18

    Вспомогательные данные

      b₀ =

      b₁ =

      b₂ =

        

      ∆d₀ = 

        

      ∆d_b0 =   

        

       ∆d_b1     = 
 

        

      ∆d_b2  =  

      ∆d₀ = 98, 6695

      ∆d_b0 = 8655, 6

      ∆d_b1 = 3589, 82 

      ∆d_b2 = -193, 66