Линейные образы

8. Отклонение  точки от прямой.

Расстояние  от точки до прямой 

Отклонением точки от прямой L называется расстояние от этой точки до прямой L, взятое со знаком “+”, если точка и начало координат O находятся по разные стороны от прямой L, и со знаком “–”, если и O находятся по одну сторону от L. Если O лежит на L, то знак не определен.

Теорема 2 (об отклонении точки от прямой).

Пусть уравнение прямой L имеет вид (27), тогда отклонение произвольной точки плоскости от этой прямой равно                                              (29) 

Д-во:

 
 
 
 
 
 
 

,

,

Докажем, что 

   - расстояние от  до L.

L разделяет плоскость на две полуплоскости, а направлен в ту полуплоскость, где находится точка . Если и O находятся по разные стороны от L, то сонаправлен с вектором .

2. , тогда направлен в ту полуплоскость, где находится точка O, т.е. и О находятся по одну сторону от прямой L.

Следовательно, по определению отклонения из п.п. 1 и 2 вытекает, что 

Вычислим 

     

     

     

     

     

     

Теорема доказана 

Следствие: Расстояние от точки до прямой L, заданной нормированным уравнением равно

     (30)

                           (31)

Пример:

    Найти:

    1) высоту h в треугольнике ABC, опущенную из вершины A;

    2) уравнение биссектрисы внутреннего угла B.

 
 
 
 
 
 

       - расстояние от точки A до прямой BC.

  Пусть расстояния от т. M(x;  y) до прямых BA и BC равны между собой

  

а)

б)

а)

б)

 нам нужно уравнение б).