Линейные образы

9. Пучок прямых на плоскости

 

    Определение

    Пучком  прямых на плоскости с центром в точке S называется множество всех прямых плоскости, проходящих через точку S.

    Теорема 3 (о пучке прямых)

    Пусть даны две прямые принадлежащие пучку  прямых с центром в точке S

     ,

    Тогда     (32)

1. (32)- уравнение некоторой прямой пучка с центром в точке S. 
2. Любая прямая пучка с центром в точке S имеет уравнение вида (32).

    

    Д-во:

    Перегруппируем  левую часть уравнения (32)

1. (32’)

    Необходимо определить степень уравнения. Уравнение (32’) может быть:

    а) первой степени;

    б) нулевой степени.

    Нулевая степень будет тогда, когда и равны одновременно нулю:

    Пусть , условие параллельности прямых противоречит условиям теоремы данное уравнение имеет первую степень.

    Пусть - центр пучка.

     имеется система уравнений:

    

      прямая (32) принадлежит пучку  с центром в точке S.

2. Пусть - произвольная точка плоскости, не лежащая ни на одной из данных прямых.

    Рассмотрим  прямую пучка L₃, проходящую через данную точку. Подставим координаты в (32). Найдем , при которых данное уравнение верно для . Из (32): 

    

    Подставим найденное  в (32):

      

    Подставим координаты точки S в уравнение: .

    Подставим координаты точки  в уравнение (вместо ): .

     данное уравнение является уравнением прямой , т.к. данному уравнению удовлетворяют координаты точек S и .

    Теорема доказана 

    Пример:

1. Даны уравнения сторон треугольника:

    

    Определить, не проходят ли они через одну точку (т.е., действительно ли это треугольник).

          

2. Найти уравнение  прямой, на которой лежит высота, опущенная из вершины A.

      
 
 
 
 

    Решение:

    

    

    Найдем  угловой коэффициент:

    

     (условия перпендикулярных прямых).

    

    

    Подставляем в уравнение пучка: